Комплексная алгебра Ли - Complex Lie algebra - Wikipedia

В математике комплексная алгебра Ли это Алгебра Ли над комплексными числами.

Для комплексной алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , это сопрягать ${ displaystyle { overline { mathfrak {g}}}}$ является комплексной алгеброй Ли с тем же основным вещественным векторным пространством, но с ${ displaystyle i = { sqrt {-1}}}$ действуя как ${ displaystyle -i}$ вместо.^[1] Как действительная алгебра Ли, комплексная алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ тривиально изоморфно своему сопряженному. Комплексная алгебра Ли изоморфна своей сопряженной тогда и только тогда, когда она допускает вещественную форму (и называется определенной над действительными числами).

Реальная форма

Для комплексной алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , действительная алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ считается реальная форма из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ если комплексирование ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0} otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C}}$ изоморфен ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .

Настоящая форма ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ является абелевым (соответственно нильпотентным, разрешимым, полупростым) тогда и только тогда, когда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ абелева (соответственно нильпотентная, разрешимая, полупростая).^[2] С другой стороны, реальная форма ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ является просто если и только если либо ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ просто или ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ имеет форму ${ Displaystyle { mathfrak {s}} times { overline { mathfrak {s}}}}$ куда ${ displaystyle { mathfrak {s}}, { overline { mathfrak {s}}}}$ просты и являются конъюгатами друг друга.^[2]

Существование вещественной формы в комплексной алгебре Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ подразумевает, что ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ изоморфен своему сопряженному;^[1] действительно, если ${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {g}} _ {0} otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C} = { mathfrak {g}} _ {0} oplus i { mathfrak {g}} _ {0}}$ , тогда пусть ${ displaystyle tau: { mathfrak {g}} to { overline { mathfrak {g}}}}$ обозначить ${ Displaystyle mathbb {R}}$ -линейный изоморфизм, индуцированный комплексно сопряженным, а затем

{ Displaystyle тау (я (х + iy)) = тау (ix-y) = - ix-y = -i tau (x + iy)}

,

что сказать ${ Displaystyle тау}$ на самом деле ${ displaystyle mathbb {C}}$ -линейный изоморфизм.

Наоборот, предположим, что существует ${ displaystyle mathbb {C}}$ -линейный изоморфизм ${ displaystyle tau: { mathfrak {g}} { overset { sim} { to}} { overline { mathfrak {g}}}}$ ; без потери общности, мы можем предположить, что это тождественная функция в базовом реальном векторном пространстве. Затем определите ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {0} = {z in { mathfrak {g}} | tau (z) = z }}$ , которая, очевидно, является реальной алгеброй Ли. Каждый элемент ${ displaystyle z}$ в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ можно записать однозначно как ${ displaystyle z = 2 ^ {- 1} (z + tau (z)) + i2 ^ {- 1} (i tau (z) -iz)}$ . Здесь, ${ Displaystyle тау (я тау (г) -iz) = - из + я тау (г)}$ и аналогично ${ Displaystyle тау}$ исправления ${ Displaystyle г + тау (г)}$ . Следовательно, ${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {g}} _ {0} oplus я { mathfrak {g}} _ {0}}$ ; т.е. ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ это реальная форма.

Комплексная алгебра Ли комплексной группы Ли

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ полупростая комплексная алгебра Ли, являющаяся алгеброй Ли комплексная группа Ли ${ displaystyle G}$ . Позволять ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ быть Подалгебра Картана из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и ${ displaystyle H}$ подгруппа Ли, соответствующая ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ ; конъюгаты ${ displaystyle H}$ называются Картановские подгруппы.

Предположим, что существует разложение ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {n}} ^ {-} oplus { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {n}} ^ {+}}$ дается выбором положительных корней. Тогда экспоненциальная карта определяет изоморфизм из ${ Displaystyle { mathfrak {п}} ^ {+}}$ закрытой подгруппе ${ Displaystyle U подмножество G}$ .^[3] Подгруппа Ли ${ displaystyle B subset G}$ соответствующий Подалгебра Бореля ${ displaystyle { mathfrak {b}} = { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {n}} ^ {+}}$ замкнуто и является полупрямым произведением ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle U}$ ;^[4] конъюгаты ${ displaystyle B}$ называются Борелевские подгруппы.

Примечания

^ ^а ^б Кнапп, Гл. VI, § 9.
^ ^а ^б Серр, Гл. II, § 8, теорема 9.
^ Серр, Гл. VIII, § 4, теорема 6 (а).
^ Серр, Гл. VIII, § 4, теорема 6 (b).

Комплексная алгебра Ли - Complex Lie algebra - Wikipedia

Содержание

Реальная форма

Комплексная алгебра Ли комплексной группы Ли

Примечания

Рекомендации