Киральный многогранник - Chiral polytope

В математика, есть два конкурирующих определения киральный многогранник. Во-первых, это многогранник то есть хиральный (или «энантиоморфный»), что означает, что он не имеет зеркальная симметрия. Согласно этому определению, многогранник, который вообще лишен какой-либо симметрии, был бы примером кирального многогранника.

Другое, конкурирующее определение кирального многогранника состоит в том, что это многогранник, который является максимально симметричным, но не зеркально-симметричным, формализованным в терминах действие из группа симметрии многогранника на его флаги. По этому определению даже высокосимметричные и энантиоморфные многогранники, такие как курносый куб не хиральны. Большая часть исследований симметричных, но киральных многогранников проводилась в рамках абстрактные многогранники, из-за скудности геометрических примеров.

Многогранники без зеркальной симметрии

Разносторонний треугольник не имеет зеркальной симметрии и, следовательно, является хиральный в 2-х измерениях.
Snub hexahedron.pngКурносый шестигранник ccw.png
В курносый куб, вершинно-транзитивный, но не зеркально-симметричный.

Многие многогранники лишены зеркальной симметрии и в этом смысле образуют киральные многогранники. Простейшим примером является неравносторонний треугольник.[1]

Многогранники могут иметь высокую степень симметрии, но не иметь зеркальной симметрии; простой пример - дисфеноид когда его грани не совпадают с равнобедренный треугольник;[2] другой пример - это курносый куб, который вершинно-транзитивный и хиральный в этом смысле.[3]

Симметричные киральные многогранники

Определение

Более техническое определение кирального многогранника - это многогранник, у которого есть две орбиты флаги под его группа симметрий, со смежными флагами на разных орбитах. Это означает, что это должно быть вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, и лицо переходный, поскольку каждая вершина, ребро или грань должны быть представлены флагами в обеих орбитах; однако он не может быть зеркально-симметричным, так как каждая зеркальная симметрия многогранника поменяла бы некоторую пару соседних флагов.[4]

Для целей этого определения группа симметрии многогранника может быть определена одним из двух различных способов: она может относиться к симметриям многогранника как к геометрическому объекту (в этом случае многогранник называется геометрически хиральный) или он может называть симметрии многогранника комбинаторной структурой ( абстрактный многогранник ). Хиральность имеет значение для любого типа симметрии, но эти два определения классифицируют разные многогранники как киральные или нехиральные.[5]

В трех измерениях

В трех измерениях геометрически киральный многогранник не может иметь конечное число конечных граней. Например, курносый куб является вершинно-транзитивным, но его флаги имеют более двух орбит, и он не является ни рёберно-транзитивным, ни грань-транзитивным, поэтому он недостаточно симметричен, чтобы соответствовать формальному определению киральности. В квазирегулярные многогранники и их двойники, такие как кубооктаэдр и ромбический додекаэдр, обеспечивают еще один интересный тип близкого промаха: у них две орбиты флагов, но они зеркально-симметричны, и не каждая смежная пара флагов принадлежит разным орбитам. Однако, несмотря на отсутствие конечных киральных трехмерных многогранников, существуют бесконечные трехмерные киральные многогранники. косые многогранники типов {4,6}, {6,4} и {6,6}.[5]

Рекомендации

  1. ^ Тилли, Ричард Дж. Д. (2006), Кристаллы и кристаллические структуры, John Wiley & Sons, стр. 44, ISBN  9780470018217.
  2. ^ Петижан, М. (2015). «Самый хиральный дисфеноид» (PDF). MATCH - Связь по математике и компьютерной химии. 73 (2): 375–384. Zbl  06749519.CS1 maint: ZBL (ссылка на сайт)
  3. ^ Кокстер, Х. С. М. (1995), Калейдоскопы: Избранные произведения, Джон Уайли и сыновья, стр. 282, г. ISBN  9780471010036.
  4. ^ Шульте, Эгон; Weiss, Asia Ivić (1991), «Хиральные многогранники», в Gritzmann, P .; Штурмфельс, Б. (ред.), Прикладная геометрия и дискретная математика (The Victor Klee Festschrift), Серия DIMACS по дискретной математике и теоретической информатике, 4, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 493–516, Г-Н  1116373.
  5. ^ а б Шульте, Эгон (2004), «Киральные многогранники в обычном пространстве. I» (PDF), Дискретная и вычислительная геометрия, 32 (1): 55–99, Дои:10.1007 / s00454-004-0843-х, Г-Н  2060817, заархивировано из оригинал (PDF) на 2010-11-17, получено 2012-09-01.

дальнейшее чтение