Крышка продукта - Cap product

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В алгебраическая топология то крышка продукта метод присоединения цепь степени п с коцепь степени q, так что q ≤ п, чтобы образовать составную цепочку степеней п − q. Он был представлен Эдуард Чех в 1936 г. и независимо Хасслер Уитни в 1938 г.

Определение

Позволять Икс быть топологическое пространство и р кольцо коэффициентов. Колпачок - это билинейная карта на особые гомологии и когомология

${displaystyle frown;: H_ {p} (X; R) imes H ^ {q} (X; R) ightarrow H_ {p-q} (X; R).}$

определяется путем заключения договора особая цепочка ${displaystyle sigma: Delta ^ {p} ightarrow X}$ с единственным коцепь ${displaystyle psi в C ^ {q} (X; R),}$ по формуле:

${displaystyle sigma frown psi = psi (sigma | _ {[v_ {0}, ldots, v_ {q}]}) sigma | _ {[v_ {q}, ldots, v_ {p}]}.}$

Здесь обозначение ${displaystyle sigma | _ {[v_ {0}, ldots, v_ {q}]}}$ указывает на ограничение симплициального отображения ${displaystyle sigma}$ к его грани, натянутой на векторы основания, см. Симплекс.

Интерпретация

По аналогии с интерпретацией чашка продукта с точки зрения Формула Кюннета, мы можем объяснить существование продукта cap следующим образом. С помощью CW приближение мы можем предположить, что ${displaystyle X}$ является CW-комплексом и ${displaystyle C_ {ullet} (X)}$ (и ${displaystyle C ^ {ullet} (X)}$) - это комплекс его клеточных цепей (или коцепей соответственно). Рассмотрим тогда композицию

${displaystyle C_ {ullet} (X) иногда C ^ {ullet} (X) {overset {Delta _ {*} otimes mathrm {Id}} {longrightarrow}} C_ {ullet} (X) иногда C_ {ullet} (X ) otimes C ^ {ullet} (X) {overset {mathrm {Id} otimes varepsilon} {longrightarrow}} C_ {ullet} (X)}$

куда мы берем тензорные произведения цепных комплексов, ${displaystyle Дельта двоеточия X o X imes X}$ это диагональная карта что индуцирует отображение ${displaystyle Delta _ {*} двоеточие C_ {ullet} (X) o C_ {ullet} (X imes X) cong C_ {ullet} (X) иногда C_ {ullet} (X)}$ на цепном комплексе, и ${displaystyle varepsilon двоеточие C_ {p} (X) иногда C ^ {q} (X) или mathbb {Z}}$ это оценочная карта (всегда 0, кроме ${displaystyle p = q}$).

Затем эта композиция переходит к частному для определения конечного продукта. ${displaystyle нахмуриться двоеточие H_ {ullet} (X) imes H ^ {ullet} (X) o H_ {ullet} (X)}$, и если внимательно посмотреть на композицию выше, можно увидеть, что она действительно принимает форму карт ${displaystyle нахмуриться двоеточием H_ {p} (X) imes H ^ {q} (X) o H_ {p-q} (X)}$, который всегда равен нулю для ${displaystyle p$.

Наклонный продукт

Если в приведенном выше обсуждении заменить ${displaystyle X imes X}$ к ${displaystyle X imes Y}$, конструкция может быть (частично) воспроизведена, начиная с отображений

${displaystyle C_ {ullet} (X imes Y) иногда C ^ {ullet} (Y) cong C_ {ullet} (X) иногда C_ {ullet} (Y) иногда C ^ {ullet} (Y) {overset {mathrm { Id} otimes varepsilon} {longrightarrow}} C_ {ullet} (X)}$ и

${displaystyle C ^ {ullet} (X imes Y) иногда C_ {ullet} (Y) cong C ^ {ullet} (X) иногда C ^ {ullet} (Y) иногда C_ {ullet} (Y) {overset {mathrm {Id} otimes varepsilon} {longrightarrow}} C ^ {ullet} (X)}$

получить соответственно наклонные изделия ${displaystyle /}$:

${displaystyle H_ {p} (X имеет Y; R) иногда H ^ {q} (Y; R) ightarrow H_ {p-q} (X; R)}$ и

${displaystyle H ^ {p} (X имеет значение Y; R) иногда H_ {q} (Y; R) ightarrow H ^ {p-q} (X; R).}$

В случае X = Y, первая связана с произведением крышки диагональной картой: ${displaystyle Delta _ {*} (a) / phi = afrown phi}$.

Эти «продукты» в некотором смысле больше похожи на деление, чем на умножение, что отражено в их обозначениях.

Уравнения

Граница конечного продукта определяется следующим образом:

${displaystyle partial (sigma frown psi) = (- 1) ^ {q} (partial sigma frown psi -sigma frown delta psi).}$

Учитывая карту ж индуцированные отображения удовлетворяют:

${displaystyle f _ {*} (sigma) frown psi = f _ {*} (sigma frown f ^ {*} (psi)).}$

Шапка и чашка продукта связаны между собой:

${displaystyle psi (sigma frown varphi) = (varphi smile psi) (сигма)}$

куда

${displaystyle sigma: Delta ^ {p + q} ightarrow X}$ , ${displaystyle psi в C ^ {q} (X; R)}$ и ${displaystyle varphi in C ^ {p} (X; R).}$

Интересным следствием последнего уравнения является то, что оно дает ${displaystyle H_ {ast} (X; R)}$ в право ${displaystyle H ^ {ast} (X; R) -}$ модуль.

Смотрите также

• Продукт чашки
• Двойственность Пуанкаре
• Особые гомологии
• Теория гомологии

Рекомендации

• Хэтчер, А., Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета (2002) ISBN  0-521-79540-0. Подробное обсуждение теорий гомологий для симплициальных комплексов и многообразий, особых гомологий и т. Д.
• наклонный продукт в nLab