Строительство (математика) - Building (mathematics)

В математика, а строительство (также Здание сисек, названный в честь Жак Титс ) представляет собой комбинаторно-геометрическую структуру, которая одновременно обобщает некоторые аспекты многообразия флагов, конечный проективные плоскости, и Римановы симметрические пространства. Первоначально они были введены Жаком Титсом как средство понимания структуры исключительные группы лиева типа. Более специализированная теория зданий Брюа – Титса (названная дополнительно после Франсуа Брюа ) играет роль в изучении p-адические группы Ли аналогично теории симметричные пространства в теории Группы Ли.

Обзор

Идея здания была изобретена Жак Титс как средство описания простые алгебраические группы над произвольным поле. Сиськи показали, как каждому такому группа грамм можно связать симплициальный комплекс Δ = Δ (грамм) с действие из грамм, называется сферическое здание из грамм. Группа грамм накладывает очень сильные условия комбинаторной регулярности на комплексы Δ, которые могут возникнуть таким образом. Рассматривая эти условия как аксиомы для класса симплициальных комплексов, Титс пришел к своему первому определению здания. Часть данных, определяющих здание Δ, является Группа Коксетера W, определяющий высокосимметричный симплициальный комплекс Σ = Σ(W,S), называется Комплекс Кокстера. Здание Δ склеено из нескольких копий Σ, называемых его квартиры, в определенной регулярной манере. Когда W - конечная группа Кокстера, комплекс Кокстера - топологическая сфера, а соответствующие здания называются сферический тип. Когда W является аффинная группа Вейля комплекс Кокстера является подразделением аффинной плоскости и говорят о аффинный, или же Евклидово, здания. Аффинное здание типа ${ displaystyle { scriptstyle { tilde {A}} _ {1}}}$ это то же самое, что и бесконечный дерево без концевых вершин.

Хотя теория полупростых алгебраических групп послужила исходной мотивацией для понятия здания, не все здания возникают из группы. В частности, проективные плоскости и обобщенные четырехугольники образуют два класса графов, изучаемых в геометрия падения которые удовлетворяют аксиомам здания, но не могут быть связаны с какой-либо группой. Оказывается, это явление связано с низким рангом соответствующей системы Кокстера (а именно, два). Титс доказал замечательную теорему: все сферические здания ранга не менее трех связаны группой; более того, если здание ранга как минимум два связано с группой, то группа по существу определяется зданием.

Ивахори – Мацумото, Борель – Титс и Брюа – Титс продемонстрировали, что по аналогии с построением Титсом сферических зданий аффинные здания также могут быть построены из определенных групп, а именно, редуктивных алгебраических групп над локальное неархимедово поле. Более того, если разделенный ранг группы составляет не менее трех, он в основном определяется ее составом. Позже Титс переработал фундаментальные аспекты теории зданий, используя понятие камерная система, кодирование здания исключительно в терминах свойств смежности симплексов максимальной размерности; это приводит к упрощениям как в сферическом, так и в аффинном случаях. Он доказал, что, по аналогии со сферическим случаем, всякая постройка аффинного типа и ранга не менее четырех возникает из группы.

Определение

An п-размерный строительство Икс является абстрактный симплициальный комплекс который представляет собой объединение подкомплексов А называется квартиры такой, что

• каждый k-симплекс Икс находится в пределах как минимум трех п-симплексы, если k < п;
• любой (п - 1) -суплекс в квартире А лежит ровно в двух соседний п-просты А и график смежных п-симплексы связаны;
• любые два симплекса в Икс лежать в какой-то общей квартире А;
• если два симплекса оба лежат в квартирах А и А ', то существует симплициальный изоморфизм А на А 'фиксация вершин двух симплексов.

An п-симплекс в А называется камера (первоначально комната, т.е. комната в Французский ).

В классифицировать здания определяется как п + 1.

Элементарные свойства

Каждая квартира А в здании Комплекс Кокстера. Фактически на каждые два п-симплексы, пересекающиеся по (п - 1) -симплекс или панель, существует единственный симплициальный автоморфизм периода два А, называется отражение, несущий один п-просто переходить к другому и фиксировать их общие точки. Эти отражения порождают Группа Коксетера W, называется Группа Вейля из А, а симплициальный комплекс А соответствует стандартной геометрической реализации W. Стандартные генераторы группы Кокстера даются отражениями от стенок неподвижной камеры в А. Поскольку квартира А определяется с точностью до изоморфизма построением, то же самое верно для любых двух симплексов в Икс лежать в какой-то общей квартире А. Когда W конечно, здание называется сферический. Когда это аффинная группа Вейля, здание называется аффинный или же евклидов.

В камерная система задается графом смежности, образованным камерами; каждая пара соседних камер может быть дополнительно помечена одним из стандартных образующих группы Кокстера (см. Сиськи 1981 ).

В каждом здании есть канонический метрика длины унаследованный от геометрической реализации, полученной отождествлением вершин с ортонормированный базис из Гильбертово пространство. Для аффинных построек эта метрика удовлетворяет условию КОШКА (0) неравенство сравнения Александров, известный в данном контексте как метод Брюа – Титса условие неположительной кривизны для геодезических треугольников: расстояние от вершины до середины противоположной стороны не превышает расстояния в соответствующем евклидовом треугольнике с такими же длинами сторон (см. Брюа и сиськи 1972 ).

Подключение парами BN

Если группа грамм действует симплициально на здание Икс, транзитивно на парах (C, A) камер C и квартиры А содержащий их, то стабилизаторы такой пары определяют Пара BN или же Система сисек. Фактически пара подгрупп

B = грамм_C и N = грамм_А

удовлетворяет аксиомам пары BN, а группу Вейля можно отождествить с N / N ${ displaystyle cap}$ B. И наоборот, здание может быть восстановлено из пары BN, так что каждая пара BN канонически определяет здание. Фактически, используя терминологию пар BN и вызывая любую сопряженную B а Подгруппа Бореля и любая группа, содержащая борелевскую подгруппу a параболическая подгруппа,

• вершины здания Икс соответствуют максимальным параболическим подгруппам;
• k + 1 вершина образуют k-симплекс, если пересечение соответствующих максимальных параболических подгрупп также параболично;
• квартиры сопряжены под грамм симплициального подкомплекса с вершинами, заданными сопряженными относительно N максимальных параболиков, содержащих B.

Одно и то же здание часто можно описать разными парами BN. Более того, не каждое здание происходит из пары BN: это соответствует невыполнению классификации результатов по низкому рангу и размеру (см. Ниже).

Сферические и аффинные здания для SL_п

Симплициальная структура аффинных и сферических построек, связанных с SL_п(Q_п), а также их взаимосвязи легко объяснить напрямую, используя только понятия из элементарных алгебра и геометрия (видеть Гаррет 1997 ). В этом случае есть три разных здания, два сферических и одно аффинное. Каждый представляет собой союз квартиры, сами по себе симплициальные комплексы. Для аффинного дома квартира - это симплициальный комплекс. мозаика Евклидово пространство E^п−1 к (п - 1) -мерные симплексы; в то время как для сферического здания это конечный симплициальный комплекс, состоящий из всех (п-1)! симплексов с данной общей вершиной в аналогичной тесселяции в E^п−2.

Каждое здание представляет собой симплициальный комплекс Икс который должен удовлетворять следующим аксиомам:

• Икс это объединение квартир.
• Любые два симплекса в Икс содержатся в общей квартире.
• Если симплекс содержится в двух квартирах, существует симплициальный изоморфизм одного на другой, фиксирующий все общие точки.

Сферическое здание

Позволять F быть поле и разреши Икс - симплициальный комплекс с вершинами нетривиальных векторных подпространств V = F^п. Два подпространства U₁ и U₂ связаны, если один из них является подмножеством другого. В k-просты Икс формируются наборами k + 1 взаимно связное подпространство. Максимальная возможность подключения достигается за счет п - 1 собственное нетривиальное подпространство и соответствующие (п - 1) -симплекс соответствует полный флаг

(0) ${ displaystyle subset}$ U₁ ${ displaystyle subset}$ ··· ${ displaystyle subset}$ U_{п – 1} ${ displaystyle subset}$ V

Симплексы более низкой размерности соответствуют частичным флагам с меньшим количеством промежуточных подпространств U_я.

Определить квартиры в Икс, удобно определить Рамка в V в качестве основы (v_я) определяется с точностью до скалярного умножения каждого из своих векторов v_я; другими словами, фрейм - это набор одномерных подпространств L_я = F·v_я такой, что любой k из них генерируют k-мерное подпространство. Теперь заказанный каркас L₁, ..., L_п определяет полный флаг через

U_я = L₁ ${ displaystyle oplus}$ ··· ${ displaystyle oplus}$ L_я

После перестановки L_ятакже дают фрейм, легко видеть, что подпространства, полученные как суммы L_яs, образуют симплициальный комплекс того типа, который требуется для квартиры сферического дома. Аксиомы для здания легко проверяются с помощью классической Аргумент уточнения Шрайера используется для доказательства уникальности Разложение Жордана – Гёльдера.

Аффинное здание

Позволять K быть полем между Q и это p-адическое пополнение Q_п относительно обычного неархимедов p-адическая норма ||Икс||_п на Q для некоторых премьер п. Позволять р быть подкольцо из K определяется

${ Displaystyle R = {x: | x | _ {p} leq 1 }.}$

Когда K = Q, р это локализация из Z в п и когда K = Q_п, р = Z_п, то p-адические целые числа, т.е. закрытие Z в Q_п.

Вершины здания Икс являются р-решетки в V = K^п, т.е. р-подмодули формы

L = р·v₁ ${ displaystyle oplus}$ ···${ displaystyle oplus}$ р·v_п

куда (v_я) является основой V над K. Две решетки называются эквивалент если один является скалярным кратным другого на элемент мультипликативной группы K* из K (на самом деле только целые степени п нужно использовать). Две решетки L₁ и L₂ как говорят соседний если некоторая решетка, эквивалентная L₂ лежит между L₁ и его подрешетка п·L₁: это отношение симметрично. В k-просты Икс являются классами эквивалентности k + 1 взаимно смежные решетки, The (п - 1) - симплексы соответствуют после перемаркировки цепям

п·L_п ${ displaystyle subset}$ L₁ ${ displaystyle subset}$ L₂ ${ displaystyle subset}$ ··· ${ displaystyle subset}$ L_{п – 1} ${ displaystyle subset}$ L_п

где каждое последующее частное имеет порядок п. Квартиры определяются креплением фундамента (v_я) из V и взяв все решетки с базисом (п^а_я v_я) куда (а_я) лежит в Z^п и определяется однозначно до добавления одного и того же целого числа к каждой записи.

По определению каждая квартира имеет заданную форму, а их объединение - это все Икс. Вторая аксиома следует из варианта аргумента об уточнении Шрайера. Последний аксиом следует простым подсчетом, основанным на порядках конечных абелевых групп вида

L + п^k ·L_я / п^k ·L_я .

Стандартный аргумент компактности показывает, что Икс фактически не зависит от выбора K. В частности, принимая K = Q, следует, что Икс счетно. С другой стороны, принимая K = Q_п, определение показывает, что GL_п(Q_п) допускает естественное симплициальное действие на здании.

В здании есть маркировка его вершин со значениями в Z / п Z. Действительно, фиксируя опорную решетку L, этикетка M дан кем-то

метка (M) = журнал_п |M/ п^k L| по модулю п

за k достаточно большой. Вершины любого (п - 1) -симплекс в Икс иметь четкие метки, проходящие через все Z / п Z. Любой симплициальный автоморфизм φ оператора Икс определяет перестановку π Z / п Z такая, что label (φ (M)) = π (метка (M)). В частности для грамм в GL_п (Q_п),

метка (грамм·M) = метка (M) + журнал_п || Det грамм ||_п по модулю п.

Таким образом грамм сохраняет этикетки, если грамм лежит в SL_п(Q_п).

Автоморфизмы

Титс доказал, что любая сохраняющая этикетку автоморфизм аффинного здания возникает из элемента SL_п(Q_п). Поскольку автоморфизмы здания переставляют метки, существует естественный гомоморфизм

Aut Икс ${ displaystyle rightarrow}$ S_п.

Действие GL_п(Q_п) порождает п-цикл  τ. Остальные автоморфизмы здания возникают из внешние автоморфизмы из SL_п(Q_п), связанные с автоморфизмами Диаграмма Дынкина. Принятие стандартной симметричной билинейной формы с ортонормированным базисом v_я, отображение, отправляющее решетку в ее двойственную решетку, дает автоморфизм, квадрат которого равен единице, давая перестановку σ, которая переводит каждую метку в ее отрицательный по модулю п. Образ указанного гомоморфизма порождается σ и τ и изоморфен группа диэдра D_п порядка 2n; когда п = 3, это дает все S₃.

Если E конечный Расширение Галуа из Q_п и здание построено из SL_п(E) вместо SL_п(Q_п), Группа Галуа Гал (E/Q_п) также будет действовать на здание автоморфизмами.

Геометрические отношения

Сферические здания возникают двумя совершенно разными способами в связи с аффинным зданием. Икс за SL_п(Q_п):

• В связь каждой вершины L в аффинном здании соответствуют подмодули L/п·L под конечным полем F = р/п·р = Z/(п). Это просто сферическое здание для SL_п(F).
• Здание Икс возможно уплотненный добавив сферическое здание для SL_п(Q_п) как границу «на бесконечности» (см. Гаррет 1997 или же Коричневый 1989 ).

Деревья Брюа – Титса с комплексным умножением

Когда L является архимедовым локальным полем, то на здании для группы SL₂(L) может быть наложена дополнительная конструкция здания с комплексным умножением. Впервые они были введены Мартин Л. Браун (Коричневый 2004 ). Эти здания возникают, когда квадратичное расширение L действует в векторном пространстве L². Эти постройки со сложным умножением можно распространить на любое глобальное поле. Они описывают действие операторов Гекке на точки Хегнера на классической модулярной кривой Икс₀(N), а также на модульной кривой Дринфельда Икс₀^Дрин(я). Эти здания со сложным умножением полностью классифицируются на случай SL₂(L) в Коричневый 2004

Классификация

Титс доказал, что все несводимые сферические здания (т.е. Группа Вейля ) ранга больше 2 связаны с простыми алгебраическими или классическими группами. Аналогичный результат верен для неприводимых аффинных построек размерности больше двух (их здания «на бесконечности» сферические ранга больше двух). Для более низкого ранга или измерения такой классификации нет. Действительно, каждый структура заболеваемости дает сферическое здание ранга 2 (см. Потт 1995 ); и Баллманн и Брин доказали, что всякий 2-мерный симплициальный комплекс, в котором зацепления вершин изоморфны флаговый комплекс конечной проективной плоскости имеет структуру здания, не обязательно классического. Многие двумерные аффинные здания были построены с использованием гиперболических группы отражения или другие более экзотические конструкции, связанные с орбифолды.

Титс также доказал, что каждый раз, когда здание описывается BN-парой в группе, то почти во всех случаях автоморфизмы здания соответствуют автоморфизмам группы (см. Сиськи 1974 ).

Приложения

Теория зданий имеет важные приложения в нескольких довольно разрозненных областях. Помимо уже упомянутых связей со структурой редуктивных алгебраических групп над общими и локальными полями, здания используются для изучения их представления. Результаты Титса по определению группы путем ее построения имеют глубокую связь с теоремы о жесткости из Джордж Мостоу и Григорий Маргулис, и с Арифметичность Маргулиса.

Особые типы зданий изучаются в дискретной математике, и идея геометрического подхода к характеристике простых групп оказалась очень плодотворной. классификация конечных простых групп. Теория строений более общего типа, чем сферические или аффинные, все еще относительно не развита, но эти обобщенные здания уже нашли приложения для построения Группы Каца – Муди в алгебре, многообразиям неположительной кривизны и гиперболические группы в топологии и геометрическая теория групп.

Смотрите также

Рекомендации

• Баллманн, Вернер; Брин, Майкл (1995), «Орбиэдры неположительной кривизны», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 82: 169–209, CiteSeerX  10.1.1.30.8282, Дои:10.1007 / bf02698640
• Барре, Сильвен (1995), "Polyèdres Finis de Dimension 2 à Courbure ≤ 0 et de rang 2", Annales de l'Institut Fourier, 45 (4): 1037–1059, Дои:10.5802 / aif.1483, заархивировано из оригинал на 2011-06-05, получено 2008-01-03
• Барре, Сильвен; Пишо, Микаэль (2007), "Sur les immeubles triangulaires et leurs automorphismes" (PDF), Геом. Dedicata, 130: 71–91, Дои:10.1007 / s10711-007-9206-0
• Бурбаки, Николас (1968), Группы Ли и алгебры Ли: главы 4-6, Элементы математики, Герман, ISBN  978-3-540-42650-9
• Браун, Кеннет С. (1989), Здания, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96876-6
• Браун, Мартин Л. (2004), Модули Хегнера и эллиптические кривые, Springer Verlag Lecture Notes по математике, Vol. 1849 г., ISBN  978-3-540-22290-3
• Брюа, Франсуа; Сиськи, Жак (1972), "Groupes réductifs sur un corps local, I. Données radicielles valées", Publ. Математика. IHES, 41: 5–251, Дои:10.1007 / BF02715544
• Гаррет, Пол (1997), Здания и классические группы, Чепмен и Холл, ISBN  978-0-412-06331-2
• Кантор, Уильям М. (2001) [1994], «Синицы», Энциклопедия математики, EMS Press
• Кантор, Уильям М. (1986), "Обобщенные многоугольники, SCAB и GAB", в Розати, Л.А. (ред.), Здания и геометрия диаграмм (сессия CIME, Комо, 1984), Лект. примечания по математике., 1181, Springer, стр. 79–158, CiteSeerX  10.1.1.74.3986, Дои:10.1007 / BFb0075513, ISBN  978-3-540-16466-1
• Потт, Александр (1995), Конечная геометрия и теория характеров, Лект. Заметки по математике., 1601, Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0094449, ISBN  978-3-540-59065-1
• Ронан, Марк (1995), Здания и геометрия диаграмм, Лект. Заметки по математике., 1181, Springer-Verlag, стр. 159–190, Дои:10.1007 / BFb0075518, ISBN  978-3-540-16466-1
• Ронан, Марк (1992), "Здания: основные идеи и приложения. II. Арифметические группы, здания и симметричные пространства", Бык. Лондонская математика. Soc., 24 (2): 97–126, Дои:10.1112 / blms / 24.2.97, МИСТЕР  1148671
• Ронан, Марк (1992), «Здания: основные идеи и приложения. I. Основные идеи», Бык. Лондонская математика. Soc., 24 (1): 1–51, Дои:10.1112 / blms / 24.1.1, МИСТЕР  1139056
• Ронан, Марк (1989), Лекции о постройках, Перспективы в математике 7, Academic Press, ISBN  978-0-12-594750-3
• Сиськи, Жак (1974), Здания сферического типа и конечные BN-пары, Конспект лекций по математике, 386, Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0057391, ISBN  978-0-387-06757-5
• Сиськи, Жак (1981), «Локальный подход к постройкам», Геометрическая жилка: The Coxeter Festschrift, Springer-Verlag, стр.519–547, ISBN  978-0-387-90587-7
• Титс, Жак (1986), "Immeubles de type affine", в Rosati, L.A. (ed.), Здания и геометрия диаграмм (сессия CIME, Комо, 1984), Лект. примечания по математике., 1181, Springer, стр. 159–190, Дои:10.1007 / BFb0075514, ISBN  978-3-540-16466-1
• Вайс, Ричард М. (2003), Конструкция сферических зданий, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-11733-1

внешняя ссылка

• Руссо: Евклидовы здания