Самый большой маленький многоугольник - Biggest little polygon

Самый большой маленький многоугольник с 6 сторонами (слева); справа - правильный многоугольник того же диаметра, но с меньшей площадью.

В геометрии самый большой маленький многоугольник для ряда п это п-сторонний многоугольник который имеет диаметр один (то есть каждые два его точки находятся на единичном расстоянии друг от друга) и имеет наибольшую площадь среди всех диаметр - один п-угольники. Одно неуникальное решение, когда п = 4 - это квадрат, а решением является правильный многоугольник когда п - нечетное число, в противном случае решение является неправильным.

Четырехугольники

За п = 4, площадь произвольной четырехугольник дается формулой S = pq грех (θ) / 2 где п и q две диагонали четырехугольника и θ есть любой из углов, которые они образуют друг с другом. Чтобы диаметр был не больше 1, оба п и q сами должны быть не более 1. Следовательно, четырехугольник имеет наибольшую площадь, когда три множителя в формуле площади индивидуально максимизируются, с п = q = 1 и sin (θ) = 1. Условие, что п = q означает, что четырехугольник равносторонний четырехугольник (его диагонали равны по длине), а условие sin (θ) = 1 означает, что это ортодиагональный четырехугольник (его диагонали пересекаются под прямым углом). Четырехугольники этого типа включают в себя квадрат с диагоналями единичной длины, имеющими площадь 1/2. Однако бесконечно много других ортодиагональных и равнодиагональных четырехугольников также имеют диаметр 1 и площадь, равную площади квадрата, поэтому в этом случае решение не является единственным.[1]

Нечетное количество сторон

Для нечетных значений п, это было показано Карл Рейнхардт который правильный многоугольник имеет наибольшую площадь среди всех многоугольников диаметром один.[2]

Четное количество сторон

В случае п = 6, единственный оптимальный многоугольник не является правильным. Решение этого дела было опубликовано в 1975 г. Рональд Грэм, отвечая на вопрос, заданный в 1956 г. Ханфрид Ленц;[3] он имеет форму неправильного равнодиагонального пятиугольника с тупым равнобедренным треугольником, прикрепленным к одной из его сторон, с расстоянием от вершины треугольника до противоположной вершины пятиугольника, равным диагоналям пятиугольника.[4] Его площадь 0,674981 .... (последовательность A111969 в OEIS ), число, удовлетворяющее уравнению

4096 Икс10 +8192Икс9 − 3008Икс8 - 30848x7 + 21056Икс6 + 146496Икс5 − 221360Икс4 + 1232Икс3 + 144464Икс2 − 78488Икс + 11993 = 0.

Грэм предположил, что оптимальное решение для общего случая четных значений п точно так же состоит из равдиагональной (п - 1) -угольник, к одной из сторон которого прикреплен равнобедренный треугольник, вершина которого находится на единичном расстоянии от противоположной (п - 1) -угольная вершина. В случае п = 8 это было подтверждено компьютерным расчетом Audet et al.[5]Доказательство Грэхема, что его шестиугольник оптимален, и компьютерное доказательство п = 8, оба случая включали анализ всех возможных п-вертекс удары с прямыми краями.

Полная гипотеза Грэхема, характеризующая решение самой большой проблемы маленького многоугольника для всех четных значений п, было доказано в 2007 году Фостером и Сабо.[6]

Рекомендации

  1. ^ Schäffer, J. J. (1958), "Nachtrag zu Ungelöste Prob. 12", Elemente der Math., 13: 85–86. Как цитирует Грэм (1975).
  2. ^ Рейнхардт, К. (1922), "Extremale Polygone gegebenen Durchmessers", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 31: 251–270.
  3. ^ Ленц, Х. (1956), "Ungelöste Prob. 12", EIemente der Math., 11: 86. Как цитирует Грэм (1975).
  4. ^ Грэм, Р. Л. (1975), «Самый большой маленький шестиугольник» (PDF), Журнал комбинаторной теории, Серия А, 18: 165–170, Дои:10.1016/0097-3165(75)90004-7.
  5. ^ Одет, Чарльз; Хансен, Пьер; Мессин, Фредерик; Сюн, Цзюньцзе (2002), «Самый большой маленький восьмиугольник», Журнал комбинаторной теории, Серия А, 98 (1): 46–59, Дои:10.1006 / jcta.2001.3225, МИСТЕР  1897923.
  6. ^ Фостер, Джим; Сабо, Тамаш (2007), "Графы диаметров многоугольников и доказательство гипотезы Грэма", Журнал комбинаторной теории, Серия А, 114 (8): 1515–1525, Дои:10.1016 / j.jcta.2007.02.006, МИСТЕР  2360684.

внешняя ссылка