Александр рогатый шар - Alexander horned sphere

Александр рогатый шар

В Александр рогатый шар это патологический объект в топология обнаружен Дж. В. Александер  (1924 ).

строительство

Рогатый шар Александра является особенным встраивание из сфера в 3-х мерном Евклидово пространство получается следующей конструкцией, начиная с стандартный тор:[1]

  1. Удалите радиальный срез тора.
  2. Подсоедините стандартный проколотый тор к каждой стороне разреза, соединенный с тором на другой стороне.
  3. Повторите шаги 1–2 для двух только что добавленных торов. до бесконечности.

Если рассматривать только те точки торов, которые не удаляются на каком-то этапе, вложение приводит к сфере с Кантор набор удалено. Это вложение распространяется на всю сферу, так как точки, приближающиеся к двум разным точкам канторова множества, будут находиться по крайней мере на фиксированном расстоянии друг от друга в конструкции.

Влияние на теорию

Рогатая сфера вместе со своей внутренней частью является топологическим 3 мяча, то Александр рогатый шар, и так односвязный; т.е. каждый цикл можно сжать до точки, оставаясь внутри. Внешний вид не односвязные, в отличие от внешнего вида обычной круглой сферы; петлю, соединяющую тор в приведенной выше конструкции, нельзя сжать до точки, не касаясь рогатой сферы. Это показывает, что Теорема Жордана – Шенфлиса не выполняется в трех измерениях, как первоначально думал Александр. Александр также доказал, что теорема делает удерживать в трех измерениях для кусочно-линейный /гладкий; плавный вложения. Это один из самых ранних примеров, когда необходимость различать категории из топологические многообразия, дифференцируемые многообразия, и кусочно-линейные многообразия стало очевидным.

Теперь рассмотрим рогатую сферу Александра как встраивание в 3-сфера считается одноточечная компактификация 3-х мерного Евклидово пространство р3. В закрытие неодносвязной области называется твердая рогатая сфера Александра. Хотя сплошная рогатая сфера не является многообразие, Р. Х. Бинг показал, что его двойной (которое представляет собой 3-многообразие, полученное склейкой двух копий рогатой сферы вместе по соответствующим точкам их границ) на самом деле является 3-сферой.[2] Можно рассматривать другие приклеивания твердой рогатой сферы к своей копии, возникающие в результате различных гомеоморфизмов граничной сферы самой себе. Также было показано, что это 3-сфера. Твердая рогатая сфера Александра является примером смятый куб; т.е. замкнутая дополнительная область вложения 2-сферы в 3-сферу.

Обобщения

Можно обобщить конструкцию Александра на создание других рогатых сфер, увеличивая количество рогов на каждом этапе конструкции Александра или рассматривая аналогичную конструкцию в более высоких измерениях.

Существуют и другие существенно отличные конструкции для построения таких «диких» сфер. Другой пример, также найденный Александром, - Рогатая сфера антуана, который основан на Ожерелье Антуана, патологическое вложение Кантор набор в 3-сферу.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Hocking & Young 1988 С. 175–176. Спивак 1999, п. 55
  2. ^ Бинг, Р. Х. (1952), "Гомеоморфизм между 3-сферой и суммой двух твердых рогатых сфер", Анналы математики, Вторая серия, 56: 354–362, Дои:10.2307/1969804, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969804, Г-Н  0049549

внешние ссылки