Нулевой объект (алгебра) - Zero object (algebra)

Морфизмы до и от нулевого объекта

В алгебра, то нулевой объект данного алгебраическая структура в том смысле, который объясняется ниже, является простейшим объектом такой структуры. Как набор это одиночка, и как магма имеет банальный структура, которая также является абелева группа. Вышеупомянутую структуру абелевой группы обычно идентифицируют как добавление, а единственный элемент называется нуль, поэтому сам объект обычно обозначается как ${0}$ . Часто говорят о то тривиальный объект (указанного категория ), поскольку каждый тривиальный объект изоморфный к любому другому (при единственном изоморфизме).

Экземпляры нулевого объекта включают, но не ограничиваются следующим:

Как группа, то нулевая группа или же тривиальная группа.
Как звенеть, то нулевое кольцо или же тривиальное кольцо.
Как алгебра над полем или же алгебра над кольцом, то тривиальная алгебра.
Как модуль (через звенеть $р$ ), нулевой модуль. Период, термин тривиальный модуль также используется, хотя может быть неоднозначным, как тривиальный G-модуль это G-модуль с тривиальным действием.
Как векторное пространство (через поле $р$ ), нулевое векторное пространство, нульмерное векторное пространство или просто нулевое пространство.

Эти объекты описываются совместно не только на основе общей одноэлементной и тривиальной групповой структуры, но и благодаря общие теоретико-категориальные свойства.

В последних трех случаях скалярное умножение элементом базового кольца (или поля) определяется как:

κ 0 = 0

, куда

κ \in р

.

Самый общий из них - нулевой модуль - это конечно порожденный модуль с пустой генераторная установка.

Для структур, требующих структуры умножения внутри нулевого объекта, таких как тривиальное кольцо, возможен только один, $0 \times 0 = 0$ , потому что нет ненулевых элементов. Эта структура ассоциативный и коммутативный. Кольцо $р$ которое имеет как аддитивное, так и мультипликативное тождество, тривиально тогда и только тогда, когда $1 = 0$ , поскольку из этого равенства следует, что для всех $р$ в $р$ ,

{displaystyle r = r imes 1 = r imes 0 = 0.}

В этом случае можно определить деление на ноль, так как единственный элемент является собственным мультипликативным обратным. Некоторые свойства ${0}$ зависят от точного определения мультипликативного тождества; видеть § Унитальные структуры ниже.

Любая тривиальная алгебра также является тривиальным кольцом. Банальный алгебра над полем одновременно является нулевым векторным пространством, рассматриваемым ниже. Через коммутативное кольцо, тривиальный алгебра одновременно является нулевым модулем.

Тривиальное кольцо является примером значение квадратного нуля. Тривиальная алгебра - это пример нулевая алгебра.

Нульмерный векторное пространство - особенно распространенный пример нулевого объекта, векторное пространство над полем с пустым основа. Следовательно, он измерение нуль. Это также тривиальная группа над добавление, а тривиальный модуль упомянутый выше.

Характеристики

2↕	${displaystyle {egin {bmatrix} 0 0end {bmatrix}}}$	=	${displaystyle {egin {bmatrix}, , end {bmatrix}}}$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Элемент нулевого пробела, записанный как пустой вектор столбца (крайний правый), умножается на 2 × 0 пустая матрица для получения двумерного нулевого вектора (крайний левый). Правила матричное умножение уважают.

Тривиальное кольцо, нулевой модуль и нулевое векторное пространство равны нулевые объекты соответствующих категории, а именно Rng, $р$ -Мод и Vect_$р$.

Нулевой объект по определению должен быть конечным объектом, что означает, что морфизм $А \to {0}$ должен существовать и быть уникальным для произвольного объекта $А$ . Этот морфизм отображает любой элемент $А$ к $0$ .

Нулевой объект также по определению должен быть начальным объектом, что означает, что морфизм ${0} \to А$ должен существовать и быть уникальным для произвольного объекта $А$ . Этот морфизм отображает $0$ , единственный элемент ${0}$ , к нулевому элементу $0 \in А$ , называется нулевой вектор в векторных пространствах. Эта карта мономорфизм, а значит, его образ изоморфен ${0}$ . Для модулей и векторных пространств это подмножество ${0} \subset А$ единственная пустая порожденная подмодуль (или 0-мерный линейное подпространство ) в каждом модуле (или векторном пространстве) $А$ .

Унитальные структуры

В ${0}$ объект - это конечный объект любой алгебраической структуры, где она существует, как это было описано в примерах выше. Но его существование и, если оно существует, свойство быть исходный объект (а значит, a нулевой объект в категориально-теоретический смысл) зависят от точного определения мультипликативная идентичность 1 в указанной структуре.

Если определение $1$ требует, чтобы $1 \neq 0$ , то ${0}$ объект не может существовать, потому что он может содержать только один элемент. В частности, нулевое кольцо не является поле. Если математики иногда говорят о поле с одним элементом этот абстрактный и несколько загадочный математический объект не является полем.

В категориях, где мультипликативная идентичность должна сохраняться морфизмами, но может равняться нулю, ${0}$ объект может существовать. Но не как исходный объект, потому что сохраняющие идентичность морфизмы из ${0}$ на любой объект, где $1 \neq 0$ не существует. Например, в категория колец Звенеть кольцо целые числа Z это исходный объект, а не ${0}$ .

Если алгебраическая структура требует мультипликативного тождества, но не сохраняет его морфизмами или $1 \neq 0$ , то существуют нулевые морфизмы и ситуация не отличается от неунитальных структур, рассмотренных в предыдущем разделе.

Обозначение

Нулевые векторные пространства и нулевые модули обычно обозначаются как $0$ (вместо ${0}$ ). Это всегда так, когда они возникают в точная последовательность.

Смотрите также

внешняя ссылка

Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация. Издательство Кембриджского университета. п.10 : тривиальное кольцо. ISBN 0-521-33718-6.
Бариле, Маргарита. «Тривиальный модуль». MathWorld.
Бариле, Маргарита. «Нулевой модуль». MathWorld.