Треугольная функция - Triangular function

Образцовый треугольная функция

А треугольная функция (также известный как функция треугольника, функция шляпы, или же функция палатки) - функция, график которой имеет форму треугольника. Часто это равнобедренный треугольник высоты 1 и основания 2, в этом случае он упоминается как то треугольная функция. Треугольные функции полезны в обработка сигналов и проектирование систем связи как представления идеализированных сигналов, а треугольная функция, в частности, как интегральное преобразование функция ядра, из которой могут быть получены более реалистичные сигналы, например, в оценка плотности ядра. Он также имеет приложения в импульсная кодовая модуляция как форма импульса для передачи цифровые сигналы и как согласованный фильтр для приема сигналов. Он также используется для определения треугольное окно иногда называют Окно Бартлетта.

Определения

Наиболее распространенное определение - это кусочная функция:

${displaystyle {egin {align} operatorname {tri} (x) = Lambda (x) & {overset {underset {ext {def}} {}} {=}} max {ig (} 1- | x |, 0 { ig)} & = {egin {case} 1- | x |, & | x | <1; 0 & {ext {else}}. end {ases}} end {align}}}$

Эквивалентно его можно определить как свертка двух одинаковых единиц прямоугольные функции:

${displaystyle {egin {выровнено} имя оператора {tri} (x) & = имя оператора {rect} (x) * имя оператора {rect} (x) & = int _ {- infty} ^ {infty} имя оператора {rect} (x - au) cdot имя оператора {rect} (au), d au. end {выравнивается}}}$

Треугольная функция также может быть представлена ​​как произведение прямоугольной и абсолютная величина функции:

${displaystyle operatorname {tri} (x) = operatorname {rect} (x / 2) {ig (} 1- | x | {ig)}.}.}$

Альтернативная функция треугольника

Обратите внимание, что некоторые авторы вместо этого определяют функцию треугольника, чтобы иметь основание ширины 1 вместо ширины 2:

${displaystyle {egin {align} operatorname {tri} (2x) = Lambda (2x) & {overset {underset {ext {def}} {}} {=}} max {ig (} 1-2 | x |, 0 {ig)} & = {egin {case} 1-2 | x |, & | x | <{frac {1} {2}}; 0 & {ext {else}}. end {cases}} конец {выровнено}}}$

В самом общем виде треугольная функция - это любая линейная B-шлиц:^[1]

${displaystyle operatorname {tri} _ {j} (x) = {egin {case} (x-x_ {j-1}) / (x_ {j} -x_ {j-1}), & x_ {j-1} leq x$

В то время как определение вверху - это особый случай

${displaystyle Lambda (x) = имя оператора {tri} _ {j} (x),}$

куда ${displaystyle x_ {j-1} = - 1}$, ${displaystyle x_ {j} = 0}$, и ${displaystyle x_ {j + 1} = 1}$.

Линейный B-сплайн - это то же самое, что и непрерывный кусочно-линейная функция ${displaystyle f (x)}$, и эта общая функция треугольника полезна для формального определения ${displaystyle f (x)}$ в качестве

${displaystyle f (x) = sum _ {j} y_ {j} cdot operatorname {tri} _ {j} (x),}$

куда ${displaystyle x_ {j}$ для всех целых ${displaystyle j}$Кусочно-линейная функция проходит через каждую точку, выраженную в координатах с упорядоченная пара ${displaystyle (x_ {j}, y_ {j})}$, то есть,

${displaystyle f (x_ {j}) = y_ {j}}$.

Масштабирование

По любому параметру ${displaystyle aeq 0}$:

${displaystyle {egin {align} operatorname {tri} left ({frac {t} {a}} ight) & = int _ {- infty} ^ {infty} {frac {1} {| a |}} operatorname {rect } left ({frac {au} {a}} ight) cdot operatorname {rect} left ({frac {t- au} {a}} ight), d au & = {egin {cases} 1- | t / a |, & | t | <| a |; 0 & {ext {иначе}}. end {case}} end {align}}}$

преобразование Фурье

Преобразование легко определяется с помощью свойство свертки преобразований Фурье и Преобразование Фурье прямоугольной функции:

${displaystyle {egin {align} {mathcal {F}} {operatorname {tri} (t)} & = {mathcal {F}} {operatorname {rect} (t) * operatorname {rect} (t)} & = {mathcal {F}} {имя оператора {rect} (t)} cdot {mathcal {F}} {имя оператора {rect} (t)} & = {mathcal {F}} {имя оператора {rect} (t)} ^ {2} & = mathrm {sinc} ^ {2} (f), конец {выровнен}}}$

куда ${displaystyle operatorname {sinc} (x) = sin (pi x) / (pi x)}$ это нормализованная функция sinc.

Смотрите также

• Функция Келлена, также известная как функция треугольника
• Карта палатки
• Треугольное распределение
• Треугольная волна, кусочно-линейная периодическая функция
• Тригонометрические функции

Рекомендации