Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов - Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain

В математика, в области абстрактная алгебра, то структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов является обобщением основная теорема о конечно порожденных абелевых группах и примерно заявляет, что конечно порожденный модули через главная идеальная область (PID) можно однозначно разложить примерно так же, как целые числа есть простые множители. Результат обеспечивает простую основу для понимания различных результатов канонической формы для квадратные матрицы над поля.

Заявление

Когда векторное пространство над полем F имеет конечный генераторной установки, то из нее можно извлечь основа состоящий из конечного числа п векторов, поэтому пространство изоморфный к F^п. Соответствующее утверждение с F обобщен до главная идеальная область р уже не соответствует действительности, поскольку основа для конечно порожденный модуль над р может не существовать. Однако такой модуль по-прежнему изоморфен частное какого-то модуля р^п с п конечным (чтобы убедиться в этом, достаточно построить морфизм, переводящий элементы канонического базиса р^п к генераторам модуля, и возьмем фактор по его ядро.) Изменяя выбор генератора, можно фактически описать модуль как частное некоторого р^п особенно простым подмодуль, и это структурная теорема.

Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов обычно появляется в следующих двух формах.

Разложение инвариантного фактора

Для каждого конечно порожденного модуля M по главной идеальной области р, существует единственная убывающая последовательность правильный идеалы ${displaystyle (d_ {1}) supseteq (d_ {2}) supseteq cdots supseteq (d_ {n})}$ такой, что M изоморфен сумма из циклические модули:

${displaystyle Mcong igoplus _ {i} R / (d_ {i}) = R / (d_ {1}) oplus R / (d_ {2}) oplus cdots oplus R / (d_ {n}).}$

Генераторы ${displaystyle d_ {i}}$ идеалов единственны с точностью до умножения на единица измерения, и называются инвариантные факторы из M. Поскольку идеалы должны быть собственными, эти множители не должны быть обратимыми (это позволяет избежать тривиальных множителей в сумме), а включение идеалов означает, что у человека есть делимость. ${displaystyle d_ {1}, |, d_ {2}, |, cdots, |, d_ {n}}$. Свободная часть видна в части разложения, соответствующей факторам ${displaystyle d_ {i} = 0}$. Такие факторы, если таковые имеются, встречаются в конце последовательности.

В то время как прямая сумма однозначно определяется M, изоморфизм, дающий само разложение, есть не уникальный в целом. Например, если р на самом деле является полем, тогда все встречающиеся идеалы должны быть равны нулю, и получается разложение конечномерного векторного пространства в прямую сумму одномерных подпространства; количество таких факторов фиксировано, а именно размерность пространства, но есть большая свобода выбора самих подпространств (если тусклый M > 1).

Ненулевой ${displaystyle d_ {i}}$ элементов вместе с количеством ${displaystyle d_ {i}}$ которые равны нулю, образуют полный набор инвариантов для модуля. Явно это означает, что любые два модуля, совместно использующие один и тот же набор инвариантов, обязательно изоморфны.

Некоторые предпочитают писать бесплатную часть M раздельно:

${displaystyle R ^ {f} oplus igoplus _ {i} R / (d_ {i}) = R ^ {f} oplus R / (d_ {1}) oplus R / (d_ {2}) oplus cdots oplus R / (d_ {nf})}$

где видимый ${displaystyle d_ {i}}$ отличны от нуля, и ж это количество ${displaystyle d_ {i}}$в исходной последовательности, равной 0.

Первичное разложение

Каждый конечно порожденный модуль M по главной идеальной области р изоморфна одному из видов

${displaystyle igoplus _ {i} R / (q_ {i})}$

куда ${displaystyle (q_ {i}) eq R}$ и ${displaystyle (q_ {i})}$ находятся основные идеалы. В ${displaystyle q_ {i}}$ уникальны (с точностью до умножения на единицы).

Элементы ${displaystyle q_ {i}}$ называются элементарные делители из M. В PID ненулевые первичные идеалы являются степенями простых чисел, и поэтому ${displaystyle (q_ {i}) = (p_ {i} ^ {r_ {i}}) = (p_ {i}) ^ {r_ {i}}}$. Когда ${displaystyle q_ {i} = 0}$, получившийся неразложимый модуль ${displaystyle R}$ сам, а это внутри части M это бесплатный модуль.

Слагаемые ${displaystyle R / (q_ {i})}$ находятся неразложимый, поэтому первичная декомпозиция - это разбивка на неразложимые модули, и, таким образом, каждый конечно порожденный модуль над PID является полностью разложимый модуль. Поскольку PID Нётерские кольца, это можно рассматривать как проявление Теорема Ласкера-Нётер.

Как и прежде, можно написать бесплатную часть (где ${displaystyle q_ {i} = 0}$) отдельно и выразить M в качестве:

${displaystyle R ^ {f} oplus (igoplus _ {i} R / (q_ {i}))}$

где видимый ${displaystyle q_ {i}}$ ненулевые.

Доказательства

Одно доказательство выглядит следующим образом:

• Каждый конечно порожденный модуль над PID также является конечно представленный потому что PID является нётеровым, это даже более сильное условие, чем согласованность.
• Возьмите презентацию, которая представляет собой карту ${displaystyle R ^ {r} o R ^ {g}}$ (отношения к генераторам), и поместите его в Нормальная форма Смита.

Это дает инвариантное разложение множителей, и диагональные элементы нормальной формы Смита являются инвариантными множителями.

Еще один набросок доказательства:

• Обозначим через tM то торсионный подмодуль из M. потом M/tM является конечно порожденным без кручения модуль, и такой модуль над коммутативным PID является бесплатный модуль конечных классифицировать, поэтому он изоморфен ${displaystyle R ^ {n}}$ для положительного целого числа п. Этот бесплатный модуль можно встроенный как подмодуль F из M, такое, что вложение разбивает (является правым обратным) отображение проекции; достаточно поднять каждый из образующих F в M. Как следствие ${displaystyle M = tMoplus F}$.
• Для главный элемент п в р тогда мы можем говорить о ${displaystyle N_ {p} = {min tMmid exists i, mp ^ {i} = 0}}$. Это подмодуль tM, и оказывается, что каждый N_п является прямой суммой циклических модулей, и что tM прямая сумма N_п для конечного числа различных простых чисел п.
• Соединяя предыдущие два шага, M раскладывается на циклические модули указанных типов.

Следствия

Это включает классификацию конечномерных векторных пространств как частный случай, когда ${displaystyle R = K}$. Поскольку у полей нет нетривиальных идеалов, каждое конечно порожденное векторное пространство свободно.

Принимая ${displaystyle R = mathbb {Z}}$ дает основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.

Позволять Т - линейный оператор в конечномерном векторном пространстве V над K. Принимая ${displaystyle R = K [T]}$, то алгебра из многочлены с коэффициентами в K оценивается в Т, дает структурную информацию о Т. V можно рассматривать как конечно порожденный модуль над ${displaystyle K [T]}$. Последний инвариантный фактор - это минимальный многочлен, а произведение инвариантных множителей есть характеристический многочлен. В сочетании со стандартной матричной формой для ${displaystyle K [T] / p (T)}$, это дает различные канонические формы:

• инвариантные факторы + сопутствующая матрица дает Нормальная форма Фробениуса (иначе, рациональная каноническая форма )
• первичное разложение + сопутствующая матрица дает первичная рациональная каноническая форма
• первичное разложение + Иорданские блоки дает Иорданская каноническая форма (последнее справедливо только над алгебраически замкнутое поле )

Уникальность

Хотя инварианты (ранг, инвариантные множители и элементарные делители) уникальны, изоморфизм между M и это каноническая форма не уникален и даже не сохраняет прямая сумма разложение. Это следует потому, что существуют нетривиальные автоморфизмы этих модулей, не сохраняющих слагаемых.

Однако имеется канонический торсионный подмодуль Т, и аналогичные канонические подмодули, соответствующие каждому (отдельному) инвариантному фактору, которые дают каноническую последовательность:

${displaystyle 0$

Сравнивать серия композиций в Теорема Жордана – Гёльдера.

Например, если ${displaystyle Mapprox mathbf {Z} oplus mathbf {Z} / 2}$, и ${displaystyle (1,0), (0,1)}$ это одна основа, то${displaystyle (1,1), (0,1)}$ - другой базис, и замена базисной матрицы ${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1end {bmatrix}}}$ не сохраняет слагаемое ${displaystyle mathbf {Z}}$. Однако он сохраняет ${displaystyle mathbf {Z} / 2}$ слагаемое, так как это торсионный подмодуль (эквивалентно здесь 2-торсионные элементы).

Обобщения

Группы

В Теорема Жордана – Гёльдера является более общим результатом для конечных групп (или модулей над произвольным кольцом). В этой общности получаем серия композиций, а не прямая сумма.

В Теорема Крулля – Шмидта и связанные результаты дают условия, при которых модуль имеет нечто вроде первичной декомпозиции, декомпозиции как прямой суммы неразложимые модули в котором слагаемые по порядку единственны.

Первичное разложение

Примарное разложение обобщается на конечно порожденные модули над коммутативными Нётерские кольца, и этот результат называется Теорема Ласкера – Нётер.

Неразборные модули

Напротив, уникальное разложение на неразложимый субмодулей не является обобщающим, и отказ измеряется группа идеального класса, который исчезает для PID.

Для колец, которые не являются областями главных идеалов, однозначное разложение может не выполняться даже для модулей над кольцом, порожденным двумя элементами. Для кольца р = Z[√ − 5], оба модуля р и его подмодуль M порожденные 2 и 1 + √ − 5 неразложимы. Пока р не изоморфен M, р ⊕ р изоморфен M ⊕ M; таким образом изображения M слагаемые дают неразложимые подмодули L₁, L₂ < р ⊕ р которые дают другое разложение р ⊕ р. Неудача однозначного факторизации р ⊕ р в прямую сумму неразложимых модулей напрямую связано (через идеальную группу классов) с неудачей уникальной факторизации элементов р на неприводимые элементы р.

Однако за Дедекиндский домен группа классов идеалов является единственным препятствием, и структурная теорема обобщается на конечно порожденные модули над дедекиндовым доменом с небольшими доработками. По-прежнему существует единственная торсионная часть с дополнением без кручения (единственная с точностью до изоморфизма), но модуль без кручения над дедекиндовской областью уже не обязательно является свободным. Модули без кручения над дедекиндовской областью определяются (с точностью до изоморфизма) рангом и Класс Стейница (который принимает значение в идеальной группе классов), и разложение в прямую сумму копий р (бесплатные модули первого ранга) заменяется прямой суммой на один ранг проективные модули: отдельные слагаемые не определены однозначно, но класс Стейница (суммы) определен.

Неконечно порожденные модули

Точно так же для модулей, которые не являются конечно порожденными, нельзя ожидать такой красивой декомпозиции: даже количество факторов может меняться. Есть Z-подмодули Q⁴ которые одновременно являются прямыми суммами двух неразложимых модулей и прямыми суммами трех неразложимых модулей, показывая, что аналог первичного разложения не может выполняться для бесконечно порожденных модулей, даже над целыми числами, Z.

Другая проблема, которая возникает с неконечно порожденными модулями, заключается в том, что есть модули без кручения, которые не являются свободными. Например, рассмотрим кольцо Z целых чисел. потом Q без кручения Z-модуль, который не является бесплатным. Другой классический пример такого модуля - это Группа Бэра – Спекера, группа всех последовательностей целых чисел при почленном сложении. Вообще говоря, вопрос о том, какие бесконечно порожденные абелевы группы без кручения свободны, зависит от того, какие большие кардиналы существовать. Как следствие, любая структурная теорема для бесконечно порожденных модулей зависит от выбора теория множеств аксиомы и может оказаться недействительным при другом выборе.

Рекомендации