Минимальный многочлен (теория поля) - Minimal polynomial (field theory)

В теория поля, филиал математика, то минимальный многочлен ценности α это, грубо говоря, многочлен самого низкого степень имеющие коэффициенты указанного типа, такие что α является корнем многочлена. Если минимальный многочлен от α существует, он уникален. Коэффициент перед членом наивысшей степени в полиноме должен быть равен 1, а указанный тип для остальных коэффициентов может быть целые числа, рациональное число, действительные числа, или другие.

Более формально минимальный многочлен определяется относительно расширение поля E/F и элемент поля расширения E. Минимальный многочлен элемента, если он существует, является членом F[Икс], кольцо многочленов в переменной Икс с коэффициентами в F. Учитывая элемент α из E, позволять J_α - множество всех многочленов ж(Икс) в F[Икс] такой, что ж(α) = 0. Элемент α называется корень или ноль каждого полинома из J_α. Набор J_α назван так потому, что это идеальный из F[Икс]. Нулевой многочлен, все коэффициенты которого равны 0, находится в каждом J_α с 0α^я = 0 для всех α и я. Это делает нулевой многочлен бесполезным для классификации различных значений α на типы, поэтому это исключено. Если есть ненулевые многочлены от J_α, тогда α называется алгебраический элемент над F, и существует монический многочлен наименьшей степени в J_α. Это минимальный многочлен от α относительно E/F. Это уникально и несводимый над F. Если нулевой многочлен - единственный член J_α, тогда α называется трансцендентный элемент над F и не имеет минимального многочлена относительно E/F.

Минимальные полиномы полезны для построения и анализа расширений полей. Когда α является алгебраическим с минимальным многочленом а(Икс), наименьшее поле, которое содержит оба F и α является изоморфный к кольцо частного F[Икс]/⟨а(Икс)⟩, куда ⟨а(Икс)⟩ - идеал F[Икс] создано а(Икс). Минимальные полиномы также используются для определения сопряженные элементы.

Определение

Позволять E/F быть расширением поля, α элемент E, и F[Икс] кольцо многочленов от Икс над F. Элемент α имеет минимальный многочлен, когда α алгебраичен над F, то есть когда ж(α) = 0 для некоторого ненулевого многочлена ж(Икс) в F[Икс]. Тогда минимальный многочлен от α определяется как монический многочлен наименьшей степени среди всех многочленов из F[Икс] имея α как корень.

Уникальность

Позволять а(Икс) - минимальный многочлен α относительно E/F. Уникальность а(Икс) устанавливается с учетом кольцевой гомоморфизм суб_α из F[Икс] к E что заменяет α за Икс, то есть суб_α(ж(Икс)) = ж(α). Ядро суб_α, ker (sub_α), - множество всех многочленов от F[Икс] который имеет α как корень. То есть ker (sub_α) = J_α сверху. Поскольку суб_α - гомоморфизм колец, ker (sub_α) является идеалом F[Икс]. С F[Икс] это главное кольцо в любое время F является полем, существует хотя бы один многочлен в ker (sub_α), который порождает ker (sub_α). Такой многочлен будет иметь наименьшую степень среди всех ненулевых многочленов из ker (sub_α), и а(Икс) считается единственным моническим полиномом среди них.

Альтернативное доказательство уникальности

Предполагать п и q являются моническими многочленами от J_α минимальной степени п > 0. Поскольку п − q ∈ J_α и deg (п − q) < п следует, что п − q = 0, т.е. п = q.

Характеристики

Минимальный многочлен неприводим. Позволять E/F быть расширением поля над F как указано выше, α ∈ E, и ж ∈ F[Икс] минимальный многочлен для α. Предполагать ж = gh, куда грамм, час ∈ F[Икс] имеют меньшую степень, чем ж. Сейчас же ж(α) = 0. Поскольку поля тоже целостные области, у нас есть грамм(α) = 0 или час(α) = 0. Это противоречит минимальности степени ж. Таким образом, минимальные многочлены неприводимы.

Примеры

Минимальный многочлен расширения поля Галуа

Учитывая расширение поля Галуа ${displaystyle L / K}$ минимальный многочлен любого ${displaystyle alpha in L}$ не в ${displaystyle K}$ можно вычислить как

${displaystyle f (x) = prod _ {сигма в {ext {Gal}} (L / K)} (x-sigma (альфа))}$

если ${displaystyle alpha}$ не имеет стабилизаторов в действии Галуа. Поскольку это неприводимо, что можно вывести, глядя на корни ${displaystyle f '}$ , это минимальный многочлен. Обратите внимание, что такую же формулу можно найти, заменив ${displaystyle G = {ext {Gal}} (L / K)}$ с ${displaystyle G / N}$ куда ${displaystyle N = {ext {Stab}} (альфа)}$ стабилизирующая группа ${displaystyle alpha}$ . Например, если ${displaystyle alpha in K}$ тогда его стабилизатор ${displaystyle G}$ , следовательно ${displaystyle (x-alpha)}$ - его минимальный многочлен.

Квадратичные расширения поля

Q (√2)

Если F = Q, E = р, α = √2, то минимальный многочлен для α является а(Икс) = Икс² - 2. Базовое поле F важен, поскольку он определяет возможности для коэффициентов а(Икс). Например, если взять F = р, то минимальный многочлен для α = √2 является а(Икс) = Икс − √2.

Q (√d)

Вообще говоря, для квадратичного расширения, заданного бесквадратной ${displaystyle d}$ , вычисляя минимальный многочлен элемента ${displaystyle a + b {sqrt {d}}}$ можно найти с помощью теории Галуа. потом

${displaystyle {egin {выровнено} f (x) & = (x- (a + b {sqrt {d}})) (x- (ab {sqrt {d}})) & = x ^ {2} - 2ax + (a ^ {2} -b ^ {2} d) конец {выровнено}}}$

в частности, это означает ${displaystyle 2ain mathbb {Z}}$ и ${displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} din mathbb {Z}}$ . Это можно использовать для определения ${displaystyle {mathcal {O}} _ {mathbb {Q} ({sqrt {d}})}}$ через серия отношений с использованием модульной арифметики.

Биквадратичные расширения поля

Если α = √2 + √3, то минимальный многочлен от Q[Икс] является а(Икс) = Икс⁴ − 10Икс² + 1 = (Икс − √2 − √3)(Икс + √2 − √3)(Икс − √2 + √3)(Икс + √2 + √3).

Обратите внимание, если ${displaystyle alpha = {sqrt {2}}}$ затем действие Галуа на ${displaystyle {sqrt {3}}}$ стабилизирует ${displaystyle alpha}$ . Следовательно, минимальный многочлен можно найти с помощью фактор-группы ${displaystyle {ext {Gal}} (mathbb {Q} ({sqrt {2}}, {sqrt {3}}) / mathbb {Q}) / {ext {Gal}} (mathbb {Q} ({sqrt { 3}}) / mathbb {Q})}$ .

Корни единства

Минимальные многочлены от Q[Икс] из корни единства являются циклотомические многочлены.

Полиномы Суиннертона-Дайера

Минимальный многочлен от Q[Икс] суммы квадратных корней первых п простые числа строятся аналогично и называются Полином Суиннертона-Дайера.