Группа Стейнберга (K-теория) - Steinberg group (K-theory)

В алгебраическая K-теория, поле математика, то Группа Steinberg ${displaystyle operatorname {St} (A)}$ кольца ${displaystyle A}$ это универсальное центральное расширение из коммутаторная подгруппа конюшни общая линейная группа из ${displaystyle A}$.

Он назван в честь Роберт Стейнберг, и это связано с ниже ${displaystyle K}$-группы, особенно ${displaystyle K_ {2}}$ и ${displaystyle K_ {3}}$.

Определение

Абстрактно, учитывая кольцо ${displaystyle A}$, группа Штейнберга ${displaystyle operatorname {St} (A)}$ это универсальное центральное расширение из коммутаторная подгруппа из стабильная общая линейная группа (коммутатор совершенен и поэтому имеет универсальное центральное расширение).

Представление с использованием генераторов и отношений

Конкретная презентация с использованием генераторы и отношения как следует. Элементарные матрицы - т.е. матрицы вида ${displaystyle {e_ {pq}} (лямбда): = mathbf {1} + {a_ {pq}} (лямбда)}$, куда ${displaystyle mathbf {1}}$ - единичная матрица, ${displaystyle {a_ {pq}} (лямбда)}$ матрица с ${displaystyle lambda}$ в ${displaystyle (p, q)}$-запись и нули в другом месте, и ${displaystyle peq q}$ - удовлетворяют следующим соотношениям, называемым Отношения Штейнберга:

${displaystyle {egin {выровнено} e_ {ij} (лямбда) e_ {ij} (mu) & = e_ {ij} (lambda + mu); && left [e_ {ij} (лямбда), e_ {jk} ( mu) ight] & = e_ {ik} (лямбда mu), && {ext {for}} ieq k; left [e_ {ij} (lambda), e_ {kl} (mu) ight] & = mathbf {1 }, && {ext {for}} ieq l {ext {and}} jeq k.end {выровнено}}}$

В нестабильная группа Штейнберга порядка ${displaystyle r}$ над ${displaystyle A}$, обозначаемый ${displaystyle {operatorname {St} _ {r}} (A)}$, определяется образующими ${displaystyle {x_ {ij}} (лямбда)}$, куда ${displaystyle 1leq ieq jleq r}$ и ${displaystyle lambda in A}$, эти генераторы подчиняются соотношениям Стейнберга. В стабильная группа Штейнберга, обозначаемый ${displaystyle operatorname {St} (A)}$, это прямой предел системы ${displaystyle {operatorname {St} _ {r}} (A) o {operatorname {St} _ {r + 1}} (A)}$. Ее также можно рассматривать как группу Стейнберга бесконечного порядка.

Картография ${displaystyle {x_ {ij}} (лямбда) mapsto {e_ {ij}} (лямбда)}$ дает групповой гомоморфизм ${displaystyle varphi: имя оператора {St} (A) o {имя оператора {GL} _ {infty}} (A)}$. Поскольку элементарные матрицы порождают коммутаторная подгруппа, это отображение сюръективно на коммутаторную подгруппу.

Интерпретация как основная группа

Группа Стейнберга - это фундаментальная группа из Космос Володина, который является объединением классификация пространств из всесильный подгруппы GL (А).

Отношении K-теория

K₁

${displaystyle {K_ {1}} (A)}$ это коядро карты ${displaystyle varphi: имя оператора {St} (A) o {имя оператора {GL} _ {infty}} (A)}$, так как ${displaystyle K_ {1}}$ абелианизация ${displaystyle {operatorname {GL} _ {infty}} (A)}$ и отображение ${displaystyle varphi}$ сюръективен на коммутаторную подгруппу.

K₂

${displaystyle {K_ {2}} (A)}$ это центр группы Штейнберга. Это было определение Милнора, и оно также следует из более общих определений высших ${displaystyle K}$-группы.

Это также ядро ​​отображения ${displaystyle varphi: имя оператора {St} (A) o {имя оператора {GL} _ {infty}} (A)}$. Действительно, есть точная последовательность

${displaystyle 1 o {K_ {2}} (A) o operatorname {St} (A) o {operatorname {GL} _ {infty}} (A) o {K_ {1}} (A) o 1.}$

Эквивалентно, это Множитель Шура группы элементарные матрицы, поэтому это также группа гомологий: ${displaystyle {K_ {2}} (A) = {H_ {2}} (E (A); mathbb {Z})}$.

K₃

Герстен (1973) показало, что ${displaystyle {K_ {3}} (A) = {H_ {3}} (имя оператора {St} (A); mathbb {Z})}$.

Рекомендации

• Герстен, С. М. (1973) "${displaystyle K_ {3}}$ кольца ${displaystyle H_ {3}}$ группы Steinberg », Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 37 (2): 366–368, Дои:10.2307/2039440, JSTOR  2039440

• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраику ${displaystyle K}$-теория, Анналы математических исследований, 72, Princeton University Press, МИСТЕР  0349811

• Стейнберг, Роберт (1968), Лекции о группах Шевалле, Йельский университет, Нью-Хейвен, Коннектикут, МИСТЕР  0466335, заархивировано из оригинал на 2012-09-10