Сферическая проблема Бернштейна - Spherical Bernsteins problem - Wikipedia

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Сферическая проблема Бернштейна»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Февраль 2019 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В сферическая проблема Бернштейна это возможное обобщение оригинала Проблема Бернштейна в области глобального дифференциальная геометрия, впервые предложенный Шиинг-Шен Черн в 1969 г., а затем в 1970 г., во время своего пленарного выступления на Международный конгресс математиков в Отлично.

Проблема

Экваторы в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п + 1}}$ единственные гладкие вложенные минимальные гиперповерхности, которые являются топологическими ${ displaystyle n}$-мерные сферы?

Кроме того, сферическая проблема Бернштейна, являясь обобщением исходной проблемы Бернштейна, также может быть обобщено дальше, заменив окружающее пространство ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п + 1}}$ односвязным компактным симметричным пространством. Некоторые результаты в этом направлении связаны с У-Чун Сян и У-И Сян работай.

Альтернативные составы

Ниже приведены два альтернативных способа выразить проблему:

Вторая формулировка

Пусть (п - 1) сфера быть вложенным как минимальная гиперповерхность в ${ Displaystyle S ^ {п}}$(1). Обязательно ли это экватор?

Посредством Альмгрен –Калаби Теорема, это правда, когда п = 3 (или п = 2 для 1-й постановки).

У-Чун Сян доказал это для п ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14} (или п ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13} соответственно)

В 1987 г. Пер Томтер доказал это для всех даже п (или все нечетное п, соответственно).

Таким образом, остается неизвестным только для всех нечетных п ≥ 9 (или все даже п ≥ 8 соответственно)

Третья формулировка

Верно ли, что вложенная минимальная гиперсфера внутри евклидовой ${ displaystyle n}$-сфера обязательно является экватором?

Геометрически задача аналогична следующей задаче:

Обязательно ли локальная топология изолированной особой точки минимальной гиперповерхности отлична от топологии диска?

Например, положительный ответ на сферическую задачу Бернштейна, когда п = 3 равносильно тому, что локальная топология в изолированной особой точке любой минимальной гиперповерхности в произвольном римановом 4-многообразии должна отличаться от топологии диска.

дальнейшее чтение

• Ф. Дж. Альмгрен-мл., Некоторые теоремы внутренней регулярности для минимальных поверхностей и расширение теоремы Бернштейна. Анналы математики, том 85, номер 1 (1966), стр. 277–292
• Э. Калаби, Минимальные погружения поверхностей в евклидовы пространства, Журнал Дифференциальная геометрия, том 1 (1967), стр. 111–125
• П. Томтер, Сферическая задача Бернштейна в четных измерениях и родственные задачи, Acta Mathematica, том 158 (1987), стр. 189–212
• С.С.Черн, Краткий обзор минимальных подмногообразий, Tagungsbericht (1969), Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
• С.С. Черн, Дифференциальная геометрия, ее прошлое и будущее, Actes du Congrès international des mathématiciens (Ницца, 1970), том 1, стр. 41–53, Готье-Виллар, (1971)
• W.Y. Сян, В. Т. Сян, П. Томтер, О существовании минимальных гиперсфер в компактных симметрических пространствах, Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, том 21 (1988), стр. 287–305