Кости Сичермана - Sicherman dice - Wikipedia

Сравнение таблиц сумм нормальный (N) и Сичерман (S) игральная кость. Если допускается ноль, у обычных кубиков есть один вариант (N ') и кости Sicherman имеют два (S 'и S "). В каждой таблице есть 1 два, 2 тройки, 3 четверки и т. Д.

Кости Сичермана /ˈsɪkərмən/ единственная пара 6-сторонних игральная кость это не нормальные кости только медведь положительные целые числа, и иметь то же самое распределение вероятностей для сумма как обычные кости.

Грани на кубиках пронумерованы 1, 2, 2, 3, 3, 4 и 1, 3, 4, 5, 6, 8.

Математика

Стандартным упражнением в элементарной комбинаторике является вычисление количества способов прокатки любого заданного значения с парой справедливых шестигранников. игральная кость (взяв сумма из двух рулонов). В таблице указано количество таких способов прокатки заданного значения. ${ displaystyle n}$:

Сумасшедшие кости это математический упражнения в элементарных комбинаторика, включающее перемаркировку граней пары шестигранных игральных костей для воспроизведения той же частоты суммы как стандартная маркировка. Игральные кости Sicherman - это сумасшедшие игральные кости, которые меняют маркировку только с положительные целые числа. (Если целые числа не обязательно должны быть положительными, чтобы получить такое же распределение вероятностей, число на каждой грани одного кубика можно уменьшить на k а другой кубик увеличился на k, для любого натурального числа k, давая бесконечные решения.)

В таблице ниже перечислены все возможные суммы бросков кубиков со стандартными кубиками и кубиками Сихермана. Один кубик Sicherman окрашен для наглядности: 1–2–2–3–3–4, а другой полностью черный, 1–3–4–5–6–8.

История

Игральные кости Сичермана были открыты Джорджем Сичерманом из Буффало, Нью-Йорк и первоначально сообщалось Мартин Гарднер в статье 1978 г. Scientific American.

Числа могут быть расположены так, чтобы все пары чисел на противоположных сторонах в сумме давали равные числа: 5 для первого и 9 для второго.

Позже, в письме к Сичерману, Гарднер упомянул, что знакомый ему фокусник ожидал открытия Сичермана. Об обобщении игры в кости Сичермана для более чем двух игральных костей и некубических игральных костей см. Бролайн (1979), Галлиан и Русин (1979), Брансон и Свифт (1997/1998) и Фаулер и Свифт (1999).

Математическое обоснование

Пусть канонический п-сторонняя смерть быть п-эдр лица которого отмечены целыми числами [1, n], так что вероятность выпадения каждого числа равна 1 /п. Рассмотрим канонический кубический (шестигранный) кубик. В производящая функция для бросков такой кости ${ displaystyle x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6}}$. Произведение этого многочлена на себя дает производящую функцию для бросков пары игральных костей: ${ displaystyle x ^ {2} + 2x ^ {3} + 3x ^ {4} + 4x ^ {5} + 5x ^ {6} + 6x ^ {7} + 5x ^ {8} + 4x ^ {9} + 3x ^ {10} + 2x ^ {11} + x ^ {12}}$. Из теории циклотомические многочлены, мы знаем это

${ displaystyle x ^ {n} -1 = prod _ {d , mid , n} ^ {n} Phi _ {d} (x).}$

куда d колеблется в делители из п и ${ Displaystyle Phi _ {d} (х)}$ это d-й круговой многочлен и

${ displaystyle { frac {x ^ {n} -1} {x-1}} = sum _ {i = 0} ^ {n-1} x ^ {i} = 1 + x + cdots + x ^ {n-1}}$.

Таким образом, мы выводим производящую функцию одного п-сторонняя каноническая смерть как бытие

${ displaystyle x + x ^ {2} + cdots + x ^ {n} = { frac {x} {x-1}} prod _ {d , mid , n} ^ {n} Фи _ {d} (x)}$

${ Displaystyle Phi _ {1} (х) = х-1}$ и отменяется. Таким образом факторизация производящей функции шестигранной канонической плашки равна

${ Displaystyle х , Phi _ {2} (x) , Phi _ {3} (x) , Phi _ {6} (x) = x ; (x + 1) ; (x ^ {2} + x + 1) ; (x ^ {2} -x + 1)}$

Производящая функция для бросков двух кубиков - это произведение двух копий каждого из этих факторов. Как мы можем разделить их, чтобы сформировать две правильные кости, места которых не расположены традиционно? Здесь законный означает, что коэффициенты неотрицательны и в сумме равны шести, так что каждая игральная кость имеет шесть сторон и каждая грань имеет хотя бы одно пятно. (То есть производящая функция каждой кости должна быть многочленом p (x) с положительными коэффициентами, причем p (0) = 0 и p (1) = 6.) Существует только одно такое разбиение:

${ displaystyle x ; (x + 1) ; (x ^ {2} + x + 1) = x + 2x ^ {2} + 2x ^ {3} + x ^ {4}}$

и

${ Displaystyle х ; (х + 1) ; (х ^ {2} + х + 1) ; (х ^ {2} -x + 1) ^ {2} = х + х ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6} + x ^ {8}}$

Это дает нам распределение пятен на гранях пары игральных костей Сихермана как {1,2,2,3,3,4} и {1,3,4,5,6,8}, как указано выше.

Этот прием можно распространить на игральные кости с произвольным числом сторон.

Рекомендации

• Бролайн, Д. (1979), "Перенумерация граней игральных костей", Математический журнал, Математический журнал, Vol. 52, № 5, г. 52 (5): 312–315, Дои:10.2307/2689786, JSTOR  2689786

• Brunson, B.W .; Свифт, Рэндалл Дж. (1998), «Равно вероятные суммы», Математический спектр, 30 (2): 34–36

• Фаулер, Брайан Ч .; Свифт, Рэндалл Дж. (1999), «Переименование кубиков», Журнал математики колледжа, The College Mathematics Journal, Vol. 30, № 3, 30 (3): 204–208, Дои:10.2307/2687599, JSTOR  2687599

• Gallian, J. A .; Русин Д. Дж. (1979), "Циклотомические многочлены и нестандартные игральные кости", Дискретная математика, 27 (3): 245–259, Дои:10.1016 / 0012-365X (79) 90161-4, МИСТЕР  0541471

• Гарднер, Мартин (1978), «Математические игры», Scientific American, 238 (2): 19–32, Дои:10.1038 / scientificamerican0278-19

Смотрите также

• Календарь с двумя кубиками

внешняя ссылка

• Информационная страница Grand Illusion
• Информационная страница Mathworld

В этой статье использованы материалы из Crazy dice о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.