Неравенство Шурса - Schurs inequality - Wikipedia

В математика, Шура неравенство, названный в честь Иссай Шур, устанавливает, что для всех неотрицательный действительные числаИкс, у, z и т,

${ displaystyle x ^ {t} (x-y) (x-z) + y ^ {t} (y-z) (y-x) + z ^ {t} (z-x) (z-y) geq 0}$

с равенством тогда и только тогда, когда х = у = г или два из них равны, а другой равен нулю. Когда т даже положительный целое число, неравенство выполняется для всех действительных чисел Икс, у и z.

Когда ${ displaystyle t = 1}$, можно вывести следующий хорошо известный частный случай:

${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 3xyz geq xy (x + y) + xz (x + z) + yz (y + z)}$

Доказательство

Поскольку неравенство симметрично по ${ displaystyle x, y, z}$ без ограничения общности можно считать, что ${ Displaystyle х geq y geq z}$. Тогда неравенство

${ displaystyle (x-y) [x ^ {t} (x-z) -y ^ {t} (y-z)] + z ^ {t} (x-z) (y-z) geq 0}$

очевидно, выполняется, поскольку каждый член в левой части неравенства неотрицателен. Это переходит к неравенству Шура.

Расширения

А обобщение неравенства Шура следующее: Предположим, что а, б, в положительные действительные числа. Если тройки (а, б, в) и (х, у, г) находятся аналогично отсортированный, то имеет место неравенство

${ Displaystyle а (х-у) (х-z) + б (у-z) (у-х) + с (г-х) (г-у) geq 0.}$

В 2007, румынский математик Валентин Ворнику показал, что имеет место еще одна обобщенная форма неравенства Шура:

Учитывать ${ displaystyle a, b, c, x, y, z in mathbb {R}}$, куда ${ Displaystyle а geq b geq c}$, и либо ${ Displaystyle х geq y geq z}$ или же ${ Displaystyle г geq y geq x}$. Позволять ${ Displaystyle к ин mathbb {Z} ^ {+}}$, и разреши ${ displaystyle f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ быть либо выпуклый или же монотонный. Потом,

${ Displaystyle {е (х) (ab) ^ {k} (ac) ^ {k} + f (y) (ba) ^ {k} (bc) ^ {k} + f (z) (ca) ^ {k} (cb) ^ {k} geq 0}.}$

Стандартная форма Шура - это случай этого неравенства, когда Икс = а, у = б, z = c, k = 1, ƒ(м) = м^р.^[1]

Другое возможное расширение гласит, что если неотрицательные действительные числа ${ Displaystyle х geq y geq z geq v}$ с положительным вещественным числом т такие, что Икс + v ≥ у + z тогда^[2]

${ Displaystyle х ^ {t} (ху) (xz) (xv) + y ^ {t} (yx) (yz) (yv) + z ^ {t} (zx) (zy) (zv) + v ^ {t} (vx) (vy) (vz) geq 0.}$

Примечания