Группа перестановок ранга 3 - Rank 3 permutation group - Wikipedia
В математике теория конечных групп, а группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на таком множестве, что стабилизатор точки имеет 3 орбиты. Изучение этих групп было начато Хигман (1964, 1971 ). Некоторые из спорадические простые группы были открыты как группы перестановок ранга 3.
Классификация
Все примитивные группы перестановок ранга 3 принадлежат к одному из следующих классов:
- Кэмерон (1981) классифицировал те, что где цоколь Т из Т0 просто, и Т0 является 2-транзитивной группой степени √п.
- Либек (1987) классифицировал те, у которых есть регулярная элементарная абелева нормальная подгруппа
- Баннаи (1971–72) классифицировал те, цоколь которых представляет собой простую переменную группу
- Кантор и Либлер (1982) классифицировал те, чей цоколь является простой классической группой
- Либек и Саксл (1986) классифицировали те, чей цоколь представляет собой простую исключительную или спорадическую группу.
Примеры
Если грамм любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S, то его действие на пары элементов S группа перестановок ранга 3.[1] В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и Матье группы имеют 4-транзитивные действия, поэтому их можно объединить в группы перестановок ранга 3.
Проективная общая линейная группа, действующая на прямых в проективном пространстве размерности не менее 3, является группой перестановок ранга 3.
Несколько 3-транспозиционные группы группы подстановок ранга 3 (в действии на транспозиции).
Обычно точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одной из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это дает несколько "цепочек" групп перестановок ранга 3, таких как Цепь Suzuki и цепочка, оканчивающаяся на Группы Фишера.
Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 (многие из (Либек и Саксл 1986 )) перечислены ниже.
Для каждой строки в таблице ниже в сетке в столбце, помеченном «размер», число слева от знака равенства представляет собой степень группы перестановок для группы перестановок, упомянутой в строке. В сетке сумма справа от знака равенства показывает длины трех орбит стабилизатора точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1 + 6 + 8 в первой строке таблицы под заголовком означает, что группа перестановок для первой строки имеет степень 15, а длины трех орбит стабилизатора точки перестановки группы составляют 1, 6 и 8 соответственно.
| Группа | Стабилизатор точки | размер | Комментарии |
|---|---|---|---|
| А6 = L2(9) = Sp4(2) '= М10' | S4 | 15 = 1+6+8 | Пары точек или наборы из 3 блоков по 2 в представлении перестановки из 6 точек; два класса |
| А9 | L2(8):3 | 120 = 1+56+63 | Проективная прямая P1(8); два класса |
| А10 | (А5× А5):4 | 126 = 1+25+100 | Наборы из 2 блоков по 5 в естественном представлении с 10-точечной перестановкой |
| L2(8) | 7: 2 = Ди (7) | 36 = 1+14+21 | Пары точек в P1(8) |
| L3(4) | А6 | 56 = 1+10+45 | Гиперовали в P2(4); три класса |
| L4(3) | PSp4(3):2 | 117 = 1+36+80 | Симплектические полярности P3(3); два класса |
| грамм2(2) '= U3(3) | PSL3(2) | 36 = 1+14+21 | Цепь Suzuki |
| U3(5) | А7 | 50 = 1+7+42 | Действие на вершинах Граф Хоффмана-Синглтона; три класса |
| U4(3) | L3(4) | 162 = 1+56+105 | Два класса |
| Sp6(2) | грамм2(2) = U3(3):2 | 120 = 1+56+63 | Группа Шевалле типа G2 действующий на алгебру октонионов над GF (2) |
| Ω7(3) | грамм2(3) | 1080 = 1+351+728 | Группа Шевалле типа G2 действует на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF (3); два класса |
| U6(2) | U4(3):22 | 1408 = 1+567+840 | Стабилизатор точки - это изображение линейного представления, полученного в результате "разрушения" комплексного представления группы Митчелла (комплексной группы отражений) по модулю 2; три класса |
| M11 | M9:2 = 32: SD16 | 55 = 1+18+36 | Пары точек в представлении перестановок из 11 точек |
| M12 | M10: 2 = А6.22 = PΓL (2,9) | 66 = 1+20+45 | Пары точек или пары дополнительных блоков S (5,6,12) в 12-точечном представлении перестановок; два класса |
| M22 | 24: А6 | 77 = 1+16+60 | Блоки S (3,6,22) |
| J2 | U3(3) | 100 = 1+36+63 | Цепь Suzuki; действие на вершины График Холла-Янко |
| Группа Хигман-Симс HS | M22 | 100 = 1+22+77 | Действие на вершинах График Хигмана-Симса |
| M22 | А7 | 176 = 1+70+105 | Два класса |
| M23 | M21: 2 = L3(4):22 = PΣL (3,4) | 253 = 1+42+210 | Пары точек в представлении 23-точечной перестановки |
| M23 | 24: А7 | 253 = 1+112+140 | Блоки S (4,7,23) |
| Маклафлин группа McL | U4(3) | 275 = 1+112+162 | Действие на вершинах График Маклафлина |
| M24 | M22:2 | 276 = 1+44+231 | Пары точек в представлении перестановок из 24 точек |
| грамм2(3) | U3(3):2 | 351 = 1+126+244 | Два класса |
| грамм2(4) | J2 | 416 = 1+100+315 | Цепь Suzuki |
| M24 | M12:2 | 1288 = 1+495+792 | Пары дополнительных додекад в 24-точечном перестановочном представлении |
| Группа Suzuki Suz | грамм2(4) | 1782 = 1+416+1365 | Цепь Suzuki |
| грамм2(4) | U3(4):2 | 2016 = 1+975+1040 | |
| Co2 | БП6(2):2 | 2300 = 1+891+1408 | |
| Rudvalis group Ru | ²F₄ (2) | 4060 = 1+1755+2304 | |
| Fi22 | 2. ПСС6(2) | 3510 = 1+693+2816 | 3-транспозиции |
| Fi22 | Ω7(3) | 14080 = 1+3159+10920 | Два класса |
| Fi23 | 2.Fi22 | 31671 = 1+3510+28160 | 3-транспозиции |
| грамм2(8).3 | SU3(8).6 | 130816 = 1+32319+98496 | |
| Fi23 | ПОм8+(3) .S3 | 137632 = 1+28431+109200 | |
| Fi24 ' | Fi23 | 306936 = 1+31671+275264 | 3-транспозиции |
Примечания
- ^ Этими тремя орбитами являются: сама неподвижная пара; пары, имеющие один общий элемент с фиксированной парой; и те пары, которые не имеют общих элементов с фиксированной парой.
Рекомендации
- Баннаи, Эйити (1971–72), "Максимальные подгруппы низкого ранга конечных симметрических и знакопеременных групп", Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Математика, 18: 475–486, ISSN 0040-8980, МИСТЕР 0357559
- Brouwer, A.E .; Коэн, А. М .; Ноймайер, Арнольд (1989), Дистанционно регулярные графы, Ergebnisse der Mathematik и егорер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 18, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-50619-5, МИСТЕР 1002568
- Кэмерон, Питер Дж. (1981), "Конечные группы подстановок и конечные простые группы", Бюллетень Лондонского математического общества, 13 (1): 1–22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628, Дои:10.1112 / blms / 13.1.1, ISSN 0024-6093, МИСТЕР 0599634
- Хигман, Дональд Г. (1964), «Конечные группы подстановок ранга 3» (PDF), Mathematische Zeitschrift, 86 (2): 145–156, Дои:10.1007 / BF01111335, ISSN 0025-5874, МИСТЕР 0186724
- Хигман, Дональд Г. (1971), "Обзор некоторых вопросов и результатов о группах перестановок ранга 3", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), 1, Готье-Виллар, стр. 361–365, МИСТЕР 0427435
- Кантор, Уильям М.; Либлер, Роберт А. (1982), «Подстановочные представления ранга 3 конечных классических групп» (PDF), Труды Американского математического общества, 271 (1): 1–71, Дои:10.2307/1998750, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998750, МИСТЕР 0648077
- Либек, Мартин В. (1987), "Аффинные группы перестановок третьего ранга", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 54 (3): 477–516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735, Дои:10.1112 / плмс / с3-54.3.477, ISSN 0024-6115, МИСТЕР 0879395
- Либек, Мартин В.; Саксл, Ян (1986), "Конечные примитивные группы перестановок ранга три", Бюллетень Лондонского математического общества, 18 (2): 165–172, Дои:10.1112 / blms / 18.2.165, ISSN 0024-6093, МИСТЕР 0818821