Псевдоотражение - Pseudoreflection - Wikipedia

В математика, а псевдоотражение обратимый линейное преобразование конечномерного векторное пространство так что это не преобразование идентичности, имеет конечную (мультипликативную) порядок, и исправляет гиперплоскость. Понятие псевдоотражения обобщает представления о отражение и сложное отражение, и называется просто отражение некоторыми математиками. Он играет важную роль в Теория инвариантов конечных групп, в том числе Теорема Шевалле-Шепарда-Тодда.^[1]

Формальное определение

Предположим, что V является векторное пространство над полем K, чей измерение конечное число п. А псевдоотражение обратимый линейное преобразование ${ displaystyle g: V to V}$ такой, что порядок грамм конечно и фиксированное подпространство ${ Displaystyle V ^ {g} = {v in V: gv = v }}$ всех векторов в V фиксируется грамм имеет размер п-1.

Собственные значения

Псевдоотражение грамм имеет собственное значение 1 кратности п-1 и другое собственное значение р кратности 1. Поскольку грамм имеет конечный порядок, собственное значение р должен быть корень единства в поле K. Возможно, что р = 1 (см. Трансвекции ).

Диагонализируемые псевдоотражения

Позволять п быть характеристика поля K. Если порядок грамм является совмещать к п тогда грамм является диагонализуемый и представлен диагональная матрица

diag (1, ..., 1, р ) = ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 & 0 0 & 0 & 0 & cdots & r end {bmatrix }}}$

куда р является корнем из единицы, не равным 1. Это включает в себя случай, когда K поле с нулевой характеристикой, такое как поле действительных чисел и поле комплексных чисел.

Диагонализуемое псевдоотражение иногда называют полупростое отражение.

Реальные размышления

Когда K - поле действительных чисел, псевдоотражение имеет матричную форму diag (1, ..., 1, -1). Псевдоотражение с такой матричной формой называется настоящее отражение. Если пространство, на котором действует это преобразование, допускает симметричная билинейная форма так что ортогональность векторов можно определить, то преобразование истинно отражение.

Сложные размышления

Когда K - поле комплексных чисел, псевдоотражение называется сложное отражение, который можно представить в виде диагональная матрица diag (1, ..., 1, r), где r - комплексный корень из единицы, не равный 1.

Трансвекции

Если псевдоотражение грамм не диагонализируется, то р = 1 и грамм имеет Нормальная форма Джордана

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 & 1 0 & 0 & 0 & cdots & 1 конец {bmatrix}}}$

В таком случае грамм называется трансвекция. Псевдоотражение грамм является трансвекцией тогда и только тогда, когда характеристика п поля K положительный и порядок грамм является п. Трансвекции полезны при изучении конечных геометрий и классификации их групп движений.^[2]

Рекомендации