Положительный ток - Positive current

В математике, особенно в сложная геометрия,алгебраическая геометрия и комплексный анализ, а положительный токэто положительный (н-п,н-п) -форму над п-размерный комплексное многообразие, принимая значения в распределениях.

Для формального определения рассмотрим многообразие M.Течения на M являются (по определению) дифференциальными формами с коэффициентами в распределениях. ; интеграция M, мы можем рассматривать токи как «токи интегрирования», то есть функционалы

${ displaystyle eta mapsto int _ {M} eta клин rho}$

на гладких формах с компактной опорой. Таким образом, токи рассматриваются как элементы в двойственном пространстве к пространству.${ displaystyle Lambda _ {c} ^ {*} (М)}$ форм с компактной опорой.

Теперь позвольте M - комплексное многообразие. Разложение Ходжа ${ Displaystyle Lambda ^ {I} (M) = bigoplus _ {p + q = i} Lambda ^ {p, q} (M)}$определяется на токах естественным образом, (р, д)- токи функционируют на ${ displaystyle Lambda _ {c} ^ {p, q} (M)}$.

А положительный ток определяется как реальный Текущий типа Ходжа (п, п), принимая неотрицательные значения на всех положительный(п, п)-форм.

Характеристика Кэлеровы многообразия

С использованием Теорема Хана – Банаха, Харви и Лоусон доказал следующий критерий существования Кэлеровы метрики.^[1]

Теорема: Позволять M - компактное комплексное многообразие. потом M не допускает Кэлерова структура если и только если M допускает ненулевой положительный (1,1) -ток ${ displaystyle Theta}$ которая является (1,1) -частью точного 2-тока.

Обратите внимание, что дифференциал де Рама отображает 3-токи на 2-токи, следовательно ${ displaystyle Theta}$ - дифференциал 3-тока; если ${ displaystyle Theta}$ ток интеграции сложная кривая, это означает, что эта кривая является (1,1) -частью границы.

Когда M допускает сюръективное отображение ${ Displaystyle pi: ; M mapsto X}$ к Кэлерово многообразие с одномерными слоями эта теорема приводит к следующему результату комплексной алгебраической геометрии.

Следствие: В этой ситуации, M не-Kähler если и только если класс гомологии общего волокна ${ displaystyle pi}$ является (1,1) -частью границы.

Примечания

Рекомендации

• П. Гриффитс и Дж. Харрис (1978), Принципы алгебраической геометрии, Wiley. ISBN  0-471-32792-1
• Ж.-П. Демилли, Теоремы об исчезновении $ L ^ 2 $ для положительных линейных расслоений и теория присоединения, Лекционные заметки курса CIME "Трансцендентные методы алгебраической геометрии" (Четраро, Италия, июль 1994 г.)

Этот связанные с дифференциальной геометрией статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.