Игра Penneys - Penneys game - Wikipedia
Игра Пенни, названный в честь своего изобретателя Уолтера Пенни, двоичный (голова / хвост) последовательность создание игры между двумя игроками. Игрок A выбирает последовательность орлов и решек (длиной 3 или больше) и показывает эту последовательность игроку B. Затем игрок B выбирает другую последовательность орлов и решек такой же длины. Впоследствии ярмарка монета бросается до тех пор, пока последовательность игрока A или игрока B не появится в качестве последовательной подпоследовательности результатов подбрасывания монеты. Выигрывает игрок, чья последовательность появляется первым.
Если используются последовательности длиной не менее трех, второй игрок (B) имеет преимущество перед стартовым игроком (A). Это потому, что игра нетранзитивный так что для любой данной последовательности длиной три или более можно найти другую последовательность, которая имеет более высокую вероятность возникновения первых.
Анализ трехбитной игры
Для трех-кусочек последовательность игры, второй игрок может оптимизировать шансы путем выбора последовательностей в соответствии с:
| Выбор первого игрока | Выбор 2-го игрока | Коэффициенты в пользу 2-го игрока |
|---|---|---|
| ЧАСЧАСЧАС | ТHH | 7 к 1 |
| ЧАСЧАСТ | ТHH | 3 к 1 |
| ЧАСТЧАС | ЧАСHT | 2 к 1 |
| ЧАСТТ | ЧАСHT | 2 к 1 |
| ТЧАСЧАС | ТTH | 2 к 1 |
| ТЧАСТ | ТTH | 2 к 1 |
| ТТЧАС | ЧАСTT | 3 к 1 |
| ТТТ | ЧАСTT | 7 к 1 |
Легкий способ запомнить последовательность: второй игрок начинает с противоположного среднего выбора первого игрока, а затем следует за ним с первыми двумя вариантами первого игрока.
- Итак, по выбору первого игрока 1-2-3
- второй игрок должен выбрать (не-2) -1-2
где (not-2) противоположно второму выбору первого игрока.[1]
Интуитивно понятное объяснение этого результата состоит в том, что в любом случае, когда последовательность не является непосредственным выбором первого игрока, шансы того, что первый игрок получит начало своей последовательности, первые два варианта выбора, обычно являются шансом того, что второй игрок получит их полная последовательность. Таким образом, второй игрок, скорее всего, «закончит раньше» первого игрока.[1]
Стратегия более трех бит
Оптимальная стратегия для первого игрока (при любой длине последовательности не менее 4) была найдена J.A. Чирик (см. Ссылки). Это выбрать HTTTT ..... TTTHH ( T), и в этом случае максимальная вероятность выигрыша второго игрока равна .
Вариант с игральными картами
В одном из предложенных вариантов игры Пенни используется колода обычных игральных карт. Игра на случайность Хамбл-Нишияма следует тому же формату с использованием красных и черных карт вместо орла и решки.[2][3] Игра ведется следующим образом. В начале игры каждый игрок выбирает свою трехцветную последовательность для всей игры. Затем карты переворачиваются по одной и складываются в линию, пока не появится одна из выбранных троек. Победивший игрок берет перевернутые карты, выиграв эту «уловку». Игра продолжается с остальными неиспользованными картами, игроки собирают трюки по мере того, как выпадают их тройки, пока не будут использованы все карты в колоде. Победителем в игре становится игрок, выигравший наибольшее количество взяток. Средняя игра будет состоять примерно из 7 «уловок». Поскольку эта карточная версия очень похожа на многократное повторение исходной игры с монетами, преимущество второго игрока значительно увеличивается. Вероятности немного отличаются, потому что шансы для каждого подбрасывания монеты равны независимый в то время как шансы на получение красной или черной карты каждый раз зависят от предыдущих розыгрышей. Обратите внимание, что HHT - это фаворит 2: 1 над HTH и HTT, но шансы BBR над BRB и BRR разные.
Ниже приведены приблизительные вероятности результатов для каждой стратегии на основе компьютерного моделирования:[4]
| Выбор первого игрока | Выбор 2-го игрока | Вероятность победы первого игрока | Вероятность победы второго игрока | Вероятность ничьей |
|---|---|---|---|---|
| BBB | рBB | 0.11% | 99.49% | 0.40% |
| BBр | рBB | 2.62% | 93.54% | 3.84% |
| BрB | BBR | 11.61% | 80.11% | 8.28% |
| Bрр | BBR | 5.18% | 88.29% | 6.53% |
| рBB | рРБ | 5.18% | 88.29% | 6.53% |
| рBр | рРБ | 11.61% | 80.11% | 8.28% |
| ррB | BRR | 2.62% | 93.54% | 3.84% |
| ррр | BRR | 0.11% | 99.49% | 0.40% |
Если игра закончилась после первой взятки, вероятность ничьей ничтожно мала. Шансы на победу второго игрока в такой игре указаны в таблице ниже.
| Выбор первого игрока | Выбор 2-го игрока | Коэффициенты в пользу 2-го игрока |
|---|---|---|
| BBB | рBB | 7,50 к 1 |
| BBр | рBB | 3,08 к 1 |
| BрB | BBR | 1,99 к 1 |
| Bрр | BBR | 2,04 к 1 |
| рBB | рРБ | 2,04 к 1 |
| рBр | рРБ | 1,99 к 1 |
| ррB | BRR | 3,08 к 1 |
| ррр | BRR | 7,50 к 1 |
Вариант с колесом рулетки
Недавно Роберт В. Валлин, а затем Валлин и Аарон М. Монтгомери представили результаты игры Пенни в применении к (американской) рулетке, когда игроки выбирают красное / черное, а не орел / решку. В этой ситуации вероятность того, что мяч приземлится на красное или черное, составляет 9/19, а оставшаяся 1/19 - это шанс, что мяч приземлится на зеленом для чисел 0 и 00. Есть различные способы интерпретации зеленого цвета: (1) как «подстановочная карта», так что BGR можно прочитать на Черном, Черном, Красном и Черном, Красном, Красном, (2) как повтор, игра останавливается, когда появляется зеленый цвет, и возобновляется со следующим вращением, (3) как просто сам без лишних толкований. Результаты были рассчитаны с учетом разницы и времени ожидания.[5]
Смотрите также
внешняя ссылка
Рекомендации
- ^ а б Предсказание подбрасывания монеты от "Scam School" (на YouTube )
- ^ Шансы на победу Ютака Нишияма и Стив Хамбл
- ^ Игра на случайность Хамбл-Нишияма - новый вариант игры с монетами Пенни на CiteSeer
- ^ Результаты в целом совпадают с результатами Стив Хамбл и Ютака Нишияма, игра на случайность Хамбл-Нишияма. Математика сегодня Август 2010, стр. 143 - Новая вариация игры в монеты Пенни. [1] В архиве 24 сентября 2015 г. Wayback Machine
- ^ Дженнифер Бейнеке; Джейсон Розенхаус; Роберт В. Валлин (5 сентября 2017 г.). Математика различных развлекательных предметов: исследования в играх, графики, счет и сложность, Том 2. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691171920.
- Уолтер Пенни, журнал развлекательной математики, октябрь 1969 г., стр. 241.
- Мартин Гарднер, «Путешествие во времени и другие математические недоразумения», У. Х. Фриман, 1988.
- Л.Дж. Гибас и ЯВЛЯЮСЬ. Одлызко, «Перекрытия строк, сопоставление с образцом и нетранзитивные игры», Журнал комбинаторной теории, серия A. Том 30, выпуск 2, (1981), стр 183–208.
- Элвин Р. Берлекамп, Джон Х. Конвей и Ричард К. Гай, "Winning Ways for your Mathematical Plays", 2nd Edition, Volume 4, AK Peters (2004), p. 885.
- С. Хамбл и Я. Нишияма, "Игра на случайность Хамбл-Нишияма - новый вариант игры в монеты Пенни", IMA Mathematics Today. Том 46, № 4, август 2010 г., стр. 194–195.
- Стив Хамбл и Ютака Нишияма, «Шансы на победу», Plus Magazine, выпуск 55, июнь 2010 г.
- Ютака Нишияма, Вероятности и парадоксы сопоставления с образцом как новый вариант игры Пенни с монетами, Международный журнал чистой и прикладной математики, Том 59, № 3, 2010 г., 357-366.
- Эд Пегг младший, «Как выиграть при подбрасывании монет», Блог Вольфрама, 30 ноября 2010 г.
- J.A. Чирик, «Оптимальная стратегия для первого игрока в игре анте пенни», Комбинаторика, теория вероятностей и вычисления, Volume 1, Issue 4 (1992), pp 311–321.
- Роберт В. Валлин «Последовательная игра на колесе рулетки», «Математика очень занимательных предметов: исследования в области развлекательной математики», том II, Princeton University Press, (будет опубликовано в 2017 г.)
- Джеймс Брофос, «Анализ цепей Маркова в игре с сопоставлением монет». arXiv: 1406.2212 (2014).