Параметризация (геометрия) - Parametrization (geometry)

В математика, а точнее в геометрия, параметризация (или же параметризация; также параметризация, параметризация) - это процесс поиска параметрические уравнения из изгиб, а поверхность, или, в более общем смысле, многообразие или разнообразие, определенный неявное уравнение. Обратный процесс называется имплицитность.^[1] «Параметризовать» само по себе означает «выразить через параметры ".^[2]

Параметризация - это математический процесс, состоящий в выражении состояния система, процесс или модель как функция некоторых независимых величин, называемых параметры. Состояние системы обычно определяется конечным набором координаты, поэтому параметризация состоит из одного функция нескольких действительных переменных для каждой координаты. Количество параметров - это количество степени свободы системы.

Например, положение точка что движется по изгиб в трехмерное пространство определяется временем, необходимым для достижения точки при старте из фиксированной исходной точки. Если $Икс, у, z$ являются координатами точки, движение описывается параметрическим уравнением ^[1]

{ Displaystyle { begin {align} x & = f (t) y & = g (t) z & = h (t), end {align}}}

куда $т$ - параметр и обозначает время. Такое параметрическое уравнение полностью определяет кривую без необходимости какой-либо интерпретации $т$ как время, и поэтому называется параметрическое уравнение кривой (иногда это сокращают, говоря, что у одного параметрическая кривая). Аналогичным образом можно получить параметрическое уравнение поверхности, рассматривая функции двух параметров $т$ и $ты$ .

Неединственность

Параметризация обычно не уникальный. Обычный трехмерный объект может быть параметризован (или "согласован") одинаково эффективно с Декартовы координаты (Икс, у, z), цилиндрические полярные координаты (ρ, φ, z ), сферические координаты (р, φ, θ) или другие системы координат.

Точно так же цветовое пространство человека трехцветное цветовое зрение можно параметризовать с точки зрения трех цветов: красного, зеленого и синего, RGB или с голубым, пурпурным, желтым и черным, CMYK.

Размерность

Как правило, минимальное количество параметров, необходимых для описания модели или геометрического объекта, равно его измерение, а объем параметров - в их разрешенных диапазонах - пространство параметров. Хотя хороший набор параметров позволяет идентифицировать каждую точку в пространстве объектов, может случиться так, что для данной параметризации разные значения параметров могут относиться к одной и той же точке. Такие отображения сюръективный но нет инъективный. Примером может служить пара цилиндрических полярных координат (ρ, φ,z) и (ρ, φ + 2π,z).

Инвариантность

Как указывалось выше, существует произвол в выборе параметров данной модели, геометрического объекта и т.д. параметры. Это особенно актуально в физике, где параметризация инвариантность (или «репараметризационная инвариантность») является руководящим принципом в поисках физически приемлемые теории (особенно в общая теория относительности ).

Например, хотя положение фиксированной точки на некоторой изогнутой линии может быть задано набором чисел, значения которых зависят от того, как параметризована кривая, длина (правильно определенная) кривой между два такие фиксированные точки не будут зависеть от конкретного выбора параметризации (в данном случае: метода, с помощью которого произвольная точка на линии однозначно индексируется). Таким образом, длина кривой является параметризационно-инвариантной величиной. В таких случаях параметризация - это математический инструмент, используемый для извлечения результата, значение которого не зависит от деталей параметризации и не ссылается на них. В более общем смысле, параметризационная инвариантность физической теории означает, что либо размерность или объем пространства параметров больше, чем необходимо для описания рассматриваемой физики (количества, имеющего физическое значение).

Хотя теория общая теория относительности могут быть выражены без ссылки на систему координат, вычисления физических (то есть наблюдаемых) величин, таких как кривизна пространство-время неизменно включают введение определенной системы координат, чтобы ссылаться на точки пространства-времени, участвующие в вычислениях. Таким образом, в контексте общей теории относительности выбор системы координат можно рассматривать как метод `` параметризации '' пространства-времени, а нечувствительность результата вычисления физически значимой величины к этому выбору можно рассматривать как пример. параметризации инвариантности.

Другой пример: физические теории, наблюдаемые величины которых зависят только от относительный расстояния (отношение расстояний) между парами объектов называются масштабный инвариант. В таких теориях любая ссылка в ходе вычислений на абсолютное расстояние будет означать введение параметра, по отношению к которому теория инвариантна.

Примеры

Поверхность мальчика
Параметризация распределений Коши Маккаллахом
Параметризация (климат), параметрическое представление модели общей циркуляции и численный прогноз погоды
Особый изотермический сферический профиль
Лямбда-CDM модель, стандарт модель из Большой взрыв космология

Методы

внешняя ссылка

Краткое описание параметризации из Государственный университет Орегона, и почему это полезно, и список статей по этой теме.

[hughes-1] а ^б Хьюз-Халлет, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; Глисон, Эндрю М. (01.01.2012). Исчисление: одно- и многомерное. Джон Вили. п. 780. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.

[2] "Определение PARAMETERIZE". www.merriam-webster.com. Получено 2017-05-11.

[1]

[2]