Параболические цилиндрические координаты - Parabolic cylindrical coordinates - Wikipedia

Координатные поверхности параболических цилиндрических координат. Красный параболический цилиндр соответствует σ = 2, а желтый параболический цилиндр соответствует τ = 1. Синяя плоскость соответствует z= 2. Эти поверхности пересекаются в точке п (показан черной сферой), которая имеет Декартовы координаты примерно (2, -1,5, 2).

В математика, параболические цилиндрические координаты являются трехмерными ортогональный система координат который возникает в результате проецирования двухмерного параболическая система координат в перпендикулярном ${ displaystyle z}$ -направление. Следовательно координатные поверхности находятся конфокальный параболический цилиндры. Параболические цилиндрические координаты нашли множество приложений, например, теория потенциала краев.

Основное определение

Параболическая система координат, показывающая кривые постоянных σ и τ, горизонтальная и вертикальная оси представляют собой координаты x и y соответственно. Эти координаты проецируются по оси z, поэтому эта диаграмма будет сохраняться для любого значения координаты z.

Параболические цилиндрические координаты $(σ, τ, z)$ определены в терминах Декартовы координаты $(Икс, у, z)$ к:

{ displaystyle { begin {align} x & = sigma tau y & = { frac {1} {2}} left ( tau ^ {2} - sigma ^ {2} right) z & = z end {выровнено}}}

Поверхности постоянного $σ$ образуют конфокальные параболические цилиндры

{ displaystyle 2y = { frac {x ^ {2}} { sigma ^ {2}}} - sigma ^ {2}}

которые открыты для $+ у$ , а поверхности постоянного $τ$ образуют конфокальные параболические цилиндры

{ displaystyle 2y = - { frac {x ^ {2}} { tau ^ {2}}} + tau ^ {2}}

которые открываются в обратном направлении, т.е. $- у$ . Фокусы всех этих параболических цилиндров расположены вдоль линии, определяемой $Икс = у = 0$ . Радиус $р$ также имеет простую формулу

{ displaystyle r = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = { frac {1} {2}} left ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} верно)}

что оказывается полезным в решении Уравнение Гамильтона – Якоби в параболических координатах для обратный квадрат центральная сила проблема механика; для получения дополнительной информации см. Вектор Лапласа – Рунге – Ленца. статья.

Коэффициенты масштабирования

Масштабные коэффициенты для параболических цилиндрических координат $σ$ и $τ$ находятся:

{ displaystyle { begin {align} h _ { sigma} & = h _ { tau} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} h_ {z} & = 1 конец {выровнено}}}

Дифференциальные элементы

Бесконечно малый элемент объема равен

{ Displaystyle dV = час _ { sigma} h _ { tau} h_ {z} d sigma d tau dz = ( sigma ^ {2} + tau ^ {2}) d sigma , d tau , dz}

Дифференциальное смещение определяется как:

{ displaystyle d mathbf {l} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d sigma , { boldsymbol { hat { sigma}}} + { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d tau , { boldsymbol { hat { tau}}} + dz , mathbf { hat {z}} }

Дифференциальная нормальная площадь определяется как:

{ displaystyle d mathbf {S} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d tau , dz { boldsymbol { hat { sigma}}} + { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d sigma , dz { boldsymbol { hat { tau}}} + left ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} right) , d sigma , d tau mathbf { hat {z}}}

Del

Позволять $ж$ - скалярное поле. В градиент дан кем-то

{ displaystyle nabla f = { frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { partial f over partial sigma} { boldsymbol { hat { sigma}}} + { frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { partial f over partial tau} { boldsymbol { hat { tau}}} + { partial f over partial z} mathbf { hat {z}}}

В Лапласиан дан кем-то

{ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} left ({ frac { partial ^ {2} f} { partial sigma ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} f} { partial tau ^ {2}}} right) + { frac { partial ^ {2} f} { partial z ^ {2}}}}

Позволять $А$ быть векторным полем вида:

{ displaystyle mathbf {A} = A _ { sigma} { boldsymbol { hat { sigma}}} + A _ { tau} { boldsymbol { hat { tau}}} + A_ {z} mathbf { hat {z}}}

В расхождение дан кем-то

{ displaystyle nabla cdot mathbf {A} = { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} left ({ partial ({ sqrt { sigma ^ { 2} + tau ^ {2}}} A _ { sigma}) over partial sigma} + { partial ({ sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} A_ { tau}) over partial tau} right) + { partial A_ {z} over partial z}}

В завиток дан кем-то

{ displaystyle nabla times mathbf {A} = left ({ frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { frac { partial A_ { z}} { partial tau}} - { frac { partial A _ { tau}} { partial z}} right) { boldsymbol { hat { sigma}}} - left ({ frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { frac { partial A_ {z}} { partial sigma}} - { frac { partial A_ { sigma}} { partial z}} right) { boldsymbol { hat { tau}}} + { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} left ({ frac { partial left ({ sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} A _ { sigma} right)} { partial tau}} - { frac { partial left ({ sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} A _ { tau} right)} { partial sigma}} right) mathbf { hat { z}}}

Остальные дифференциальные операторы можно выразить в координатах $(σ, τ)$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Связь с другими системами координат

Отношение к цилиндрические координаты $(ρ, φ, z)$ :

{ Displaystyle { begin {align} rho cos varphi & = sigma tau rho sin varphi & = { frac {1} {2}} left ( tau ^ {2} - sigma ^ {2} right) z & = z end {align}}}

Параболические единичные векторы, выраженные через декартовы единичные векторы:

{ displaystyle { begin {align} { boldsymbol { hat { sigma}}} & = { frac { tau { hat { mathbf {x}}} - sigma { hat { mathbf { y}}}} { sqrt { tau ^ {2} + sigma ^ {2}}}} { boldsymbol { hat { tau}}} & = { frac { sigma { hat { mathbf {x}}} + tau { hat { mathbf {y}}}} { sqrt { tau ^ {2} + sigma ^ {2}}}} mathbf { hat {z}} & = mathbf { hat {z}} end {align}}}

Гармоники параболического цилиндра

Поскольку все поверхности постоянного $σ$ , $τ$ и $z$ находятся коникоиды, Уравнение Лапласа разделимо в параболических цилиндрических координатах. Используя технику разделение переменных, разделенное решение уравнения Лапласа может быть записано:

{ Displaystyle В = S ( sigma) Т ( тау) Z (г)}

и уравнение Лапласа, разделенное на $V$ , написано:

{ displaystyle { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} left [{ frac { ddot {S}} {S}} + { frac { ddot { T}} {T}} right] + { frac { ddot {Z}} {Z}} = 0}

Поскольку $Z$ уравнение отдельно от остальных, мы можем написать

{ displaystyle { frac { ddot {Z}} {Z}} = - м ^ {2}}

куда $м$ постоянно. $Z (z)$ есть решение:

{ Displaystyle Z_ {m} (z) = A_ {1} , e ^ {imz} + A_ {2} , e ^ {- imz}}

Подстановка $- м 2$ за ${ displaystyle { ddot {Z}} / Z}$ , Уравнение Лапласа теперь можно записать:

{ displaystyle left [{ frac { ddot {S}} {S}} + { frac { ddot {T}} {T}} right] = m ^ {2} ( sigma ^ {2 } + tau ^ {2})}

Теперь мы можем отделить $S$ и $Т$ функции и ввести другую константу $п 2$ чтобы получить:

{ displaystyle { ddot {S}} - (m ^ {2} sigma ^ {2} + n ^ {2}) S = 0}

{ displaystyle { ddot {T}} - (m ^ {2} tau ^ {2} -n ^ {2}) T = 0}

Решениями этих уравнений являются функции параболического цилиндра

{ displaystyle S_ {mn} ( sigma) = A_ {3} y_ {1} (n ^ {2} / 2m, sigma { sqrt {2m}}) + A_ {4} y_ {2} (n ^ {2} / 2м, sigma { sqrt {2m}})}

{ displaystyle T_ {mn} ( tau) = A_ {5} y_ {1} (n ^ {2} / 2m, i tau { sqrt {2m}}) + A_ {6} y_ {2} ( n ^ {2} / 2m, i tau { sqrt {2m}})}

Гармоники параболического цилиндра для $(м, п)$ теперь продукт решений. Комбинация уменьшит количество констант, и общее решение уравнения Лапласа может быть записано:

{ Displaystyle В ( сигма, тау, z) = сумма _ {m, n} A_ {mn} S_ {mn} T_ {mn} Z_ {m}}

Приложения

Классические приложения параболических цилиндрических координат находятся в решении уравнения в частных производных, например, Уравнение Лапласа или Уравнение Гельмгольца, для которых такие координаты позволяют разделение переменных. Типичным примером может служить электрическое поле окружает плоскую полубесконечную проводящую пластину.

Смотрите также

Библиография

Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.186 –187. LCCN 55010911.
Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 181. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 96. LCCN 67025285.
Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN 0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя ты_k для ξ_k.
Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Координаты параболического цилиндра (μ, ν, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 21–24 (Таблица 1.04). ISBN 978-0-387-18430-2.

внешняя ссылка

MathWorld описание параболических цилиндрических координат