Конические координаты - Conical coordinates

Координатные поверхности конических координат. Константы б и c были выбраны 1 и 2 соответственно. Красная сфера представляет р = 2, синий эллиптический конус выровнен с вертикальной z-ось представляет μ = cosh (1), а желтый эллиптический конус выровнен с (зеленым) Икс-ось соответствует ν² = 2/3. Три поверхности пересекаются в точке п (показан черной сферой) с Декартовы координаты примерно (1,26, -0,78, 1,34). Эллиптические конусы пересекают сферу в виде кривых тако.

Конические координаты являются трехмерными ортогональный система координат состоящий из концентрических сфер (описываемых их радиусом р) и двумя семействами перпендикулярных конусов, выровненных по z- и Икс-axes соответственно.

Основные определения

Конические координаты ${displaystyle (r, mu, u)}$ определены

${displaystyle x = {frac {rmu u} {bc}}}$

${displaystyle y = {frac {r} {b}} {sqrt {frac {left (mu ^ {2} -b ^ {2} ight) left (u ^ {2} -b ^ {2} ight)} { left (b ^ {2} -c ^ {2} ight)}}}}$

${displaystyle z = {frac {r} {c}} {sqrt {frac {left (mu ^ {2} -c ^ {2} ight) left (u ^ {2} -c ^ {2} ight)} { left (c ^ {2} -b ^ {2} ight)}}}}$

со следующими ограничениями на координаты

${displaystyle u ^ {2}$

Поверхности постоянного р сферы этого радиуса с центром в начале координат

${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2},}$

тогда как поверхности постоянного ${displaystyle mu}$ и ${displaystyle u}$ взаимно перпендикулярные конусы

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {mu ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {mu ^ {2} -b ^ {2}}} + {frac {z ^ { 2}} {му ^ {2} -c ^ {2}}} = 0}$

и

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {u ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {u ^ {2} -b ^ {2}}} + {frac {z ^ { 2}} {u ^ {2} -c ^ {2}}} = 0.}$

В этой системе координат оба Уравнение Лапласа и Уравнение Гельмгольца отделимы.

Коэффициенты масштабирования

Масштабный коэффициент для радиуса р является одним (час_р = 1), как в сферические координаты. Масштабные коэффициенты для двух конических координат равны

${displaystyle h_ {mu} = r {sqrt {frac {mu ^ {2} -u ^ {2}} {left (b ^ {2} -mu ^ {2} ight) left (mu ^ {2} -c) ^ {2} ight)}}}}$

и

${displaystyle h_ {u} = r {sqrt {frac {mu ^ {2} -u ^ {2}} {left (b ^ {2} -u ^ {2} ight) left (c ^ {2} -u) ^ {2} ight)}}}.}$

Конические координаты светового конуса

Был получен альтернативный набор (неортогональных) конических координат.^[1]

${displaystyle {egin {выравнивается} xi & = rcos (phi sin heta) psi & = rsin (phi sin heta) zeta & = heta, end {выравнивается}}}$

куда ${displaystyle {r, heta, phi}}$ находятся сферические полярные координаты. Соответствующие обратные соотношения:

${displaystyle {egin {выравнивается} r & = {sqrt {xi ^ {2} + psi ^ {2}}} phi & = {frac {1} {sin zeta}} arctan ({frac {psi} {xi}} ) heta & = zeta .end {выровнено}}}$

Бесконечно малое евклидово расстояние между двумя точками в этих координатах

${displaystyle {egin {align} ds ^ {2} & = dxi ^ {2} + dpsi ^ {2} + (xi ^ {2} + psi ^ {2}) (1 + arctan ({frac {psi} { xi}}) ^ {2} cot zeta ^ {2}) dzeta ^ {2} & + 2psi arctan ({frac {psi} {xi}}) cot zeta dxi dzeta -2xi arctan ({frac {psi} { xi}}) cot zeta dpsi dzeta .end {выравнивается}}}$

${displaystyle xi}$ и ${displaystyle psi}$ - ортогональные координаты на поверхности конуса, задаваемые формулами ${displaystyle zeta = {frac {pi} {4}}}$.Если путь между любыми двумя точками ограничен этой поверхностью, то геодезическое расстояние между любыми двумя точками

${displaystyle {xi _ {1}, psi _ {1}, zeta _ {1} = {frac {pi} {4}}}}$ и ${displaystyle {xi _ {2}, psi _ {2}, zeta _ {2} = {frac {pi} {4}}}}$ является

${displaystyle s_ {12} ^ {2} = (xi _ {1} -xi _ {2}) ^ {2} + (psi _ {1} -psi _ {2}) ^ {2}.}$

Рекомендации

Библиография

• Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 659. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.183 –184. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 179. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 991–100. LCCN  67025285.
• Арфкен Г (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. С. 118–119. ASIN B000MBRNX4.
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Конические координаты (r, θ, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 37–40 (Таблица 1.09). ISBN  978-0-387-18430-2.

внешняя ссылка

• MathWorld описание конических координат