Гипотеза Пенлеве - Painlevé conjecture

Конфигурация пяти тел Джеффа Ся состоит из пяти точечных масс, причем две пары движутся по эксцентрическим эллиптическим орбитам друг вокруг друга, а одна масса движется по линии симметрии. Ся доказал, что при определенных начальных условиях конечная масса будет ускорена до бесконечной скорости за конечное время. Это доказывает гипотезу Пенлеве для пяти тел и более.

В физика, то Гипотеза Пенлеве это теорема о особенности среди решений ппроблема тела: есть неколлизионные особенности дляп ≥ 4.^[1][2]

Теорема доказана для п ≥ 5 в 1988 г. Джефф Ся и для n = 4 в 2018 году Джинксин Сюэ.^[3][4][5]

Предпосылки и заявление

Решения ${ Displaystyle ( mathbf {q}, mathbf {p})}$ из ппроблема тела ${ displaystyle { dot { mathbf {q}}} = M ^ {- 1} mathbf {p}, ; { dot { mathbf {p}}} = nabla U ( mathbf {q} )}$ (где M - массы, а U - гравитационный потенциал ) имеют особенность, если существует последовательность времен ${ displaystyle t_ {n}}$ сходящийся к конечному ${ Displaystyle т ^ {*}}$ где ${ displaystyle nabla U left ( mathbf {q} left (t_ {n} right) right) rightarrow infty}$. То есть силы и ускорения становятся бесконечными в какой-то конечный момент времени.

А коллизионная особенность происходит, если ${ Displaystyle mathbf {д} (т)}$ стремится к определенному пределу, когда ${ displaystyle t rightarrow t ^ {*}, t$. Если предел не существует, особенность называется псевдоколлизия или отсутствие столкновений необычность.

Поль Пенлеве показал, что для п = 3 любое решение с сингулярностью за конечное время испытывает столкновительную особенность. Однако ему не удалось расширить этот результат за пределы трех тел. Его лекции в Стокгольме 1895 года заканчиваются предположением, что

Для п ≥ 4 ппроблема тела допускает неколлизионные особенности.^[6][7]

Развитие

Эдвард Гюго фон Цайпель в 1908 г. доказал, что если существует особенность столкновения, то ${ Displaystyle J ( mathbf {q} (t))}$ стремится к определенному пределу при ${ Displaystyle т rightarrow т ^ {*}}$, где ${ Displaystyle J ( mathbf {q}) = sum _ {i} m_ {i} | mathbf {q} _ {i} | ^ {2}}$ это момент инерции.^[8] Отсюда следует, что необходимым условием отсутствия столкновений сингулярности является то, что скорость хотя бы одной частицы становится неограниченной (поскольку положения ${ displaystyle mathbf {q}}$ остаются конечными до этого момента).^[1]

Мезеру и МакГихи удалось в 1975 году доказать, что неколлинеарная сингулярность может возникнуть в коллинейной задаче четырех тел (то есть со всеми телами на прямой), но только после бесконечного числа (регуляризованных) бинарных столкновений.^[9]

Дональд Г. Саари в 1977 г. доказал, что для почти все (в том смысле Мера Лебега ) начальные условия на плоскости или пространстве для задач из 2, 3 и 4 тел существуют решения без сингулярностей.^[10]

В 1984 году Джо Гервер привел аргумент в пользу отсутствия столкновений сингулярности в плоской задаче пяти тел без столкновений.^[11] Позже он нашел доказательство 3п чехол для тела.^[12]

Наконец, в своей докторской диссертации 1988 года Джефф Ся продемонстрировал конфигурацию из пяти тел, которая испытывает сингулярность без столкновений.^[3][4]

Джо Гервер предложил эвристическую модель существования сингулярностей из четырех тел.^[13].

В своей докторской диссертации в Университете Мэриленда в 2013 году Джинксинь Сюэ рассмотрел упрощенную модель для случая плоской задачи четырех тел гипотезы Пенлеве. Основываясь на модели Гервера, он доказал, что существует канторовский набор начальных условий, которые приводят к решениям гамильтоновой системы, скорости которых ускоряются до бесконечности за конечное время, избегая всех предыдущих столкновений. В 2018 году Сюэ расширил свою предыдущую работу и доказал гипотезу для n = 4.^[14]

использованная литература