Неравенство Несбитца - Nesbitts inequality - Wikipedia

В математика, Несбитта неравенство утверждает, что для положительных действительных чисел а, б и c,

Это элементарный частный случай (N = 3) сложной и много изученной Неравенство Шапиро, и был опубликован по крайней мере 50 лет назад.

Соответствующей верхней границы нет, так как любую из трех дробей в неравенстве можно сделать сколь угодно большой.

Доказательство

Первое доказательство: неравенство AM-HM

Посредством ЯВЛЯЮСЬ -HM неравенство на ,

Расчетные знаменатели дает

откуда получаем

путем расширения продукта и сбора подобных знаменателей. Затем это упрощается до конечного результата.

Второе доказательство: перестановка

Предполагать у нас есть это

определять

Скалярное произведение двух последовательностей максимально из-за перестановочное неравенство если они устроены одинаково, звоните и вектор сдвинутые на один и два, имеем:

Сложение дает желаемое неравенство Несбитта.

Третье доказательство: сумма квадратов

Следующая идентичность верна для всех

Это наглядно доказывает, что левая сторона не меньше для положительных a, b и c.

Примечание: каждое рациональное неравенство может быть продемонстрировано преобразованием его в соответствующее тождество суммы квадратов, см. Семнадцатая проблема Гильберта.

Четвертое доказательство: Коши – Шварца.

Обращение к Неравенство Коши – Шварца на векторах дает

который можно преобразовать в конечный результат, как мы это делали в доказательство AM-HM.

Пятое доказательство: AM-GM

Позволять . Затем мы применяем AM-GM неравенство получить следующие

потому что

Подставляя в пользу дает

который затем упрощается до конечного результата.

Шестое доказательство: лемма Титу

Лемма Титу, прямое следствие Неравенство Коши – Шварца, утверждает, что для любой последовательности действительные числа и любая последовательность положительные числа , . Мы используем его трехчленный экземпляр с -последовательность и -последовательность :

Умножая все произведения на меньшую сторону и собирая одинаковые слагаемые, мы получаем

что упрощает

Посредством перестановочное неравенство, у нас есть , поэтому дробь в меньшей части должна быть не менее . Таким образом,

Седьмое доказательство: однородность

Поскольку левая часть неравенства однородна, можно считать . Теперь определим , , и . Искомое неравенство превращается в , или, что то же самое, . Это явно верно по лемме Титу.

Восьмое доказательство: неравенство Дженсена

Определять и рассмотрим функцию . Можно показать, что эта функция является выпуклой в и, ссылаясь на Неравенство Дженсена, мы получили

Прямое вычисление дает

Девятое доказательство: сведение к неравенству с двумя переменными

Очистив знаменатели,

Теперь достаточно доказать, что за , суммируя это три раза для и завершает доказательство.

В качестве мы сделали.

Рекомендации

  • Несбитт А.М. Задача 15114, Educational Times, 55, 1902.
  • Ион Ионеску, Румынский математический вестник, Том XXXII (15 сентября 1926 - 15 августа 1927), стр. 120
  • Артур Лохуотер (1982). «Введение в неравенство». Электронная книга в формате PDF.

внешняя ссылка