Литтлвудс три принципа реального анализа - Littlewoods three principles of real analysis - Wikipedia

Три принципа Литтлвуда реальный анализ находятся эвристика из Дж. Э. Литтлвуд чтобы помочь научить основам теория меры в математический анализ.

Принципы

Литтлвуд изложил принципы в своем 1944 г. Лекции по теории функций[1]в качестве:

Есть три принципа, которые можно примерно выразить следующими словами: Каждый (измеримый ) множество - это почти конечная сумма интервалов; каждая функция (класса Lп) почти непрерывный; каждый сходящийся последовательность функций почти равномерно сходящийся.

Первый принцип основан на том, что внутренняя мера и внешняя мера равны для измеримых множеств, второй основан на Теорема Люсина, а третий основан на Теорема Егорова.

Пример

Три принципа Литтлвуда цитируются в нескольких реальных аналитических текстах, например, Ройден,[2]Брессуд,[3]и Штейн и Шакарчи.[4]

Royden[5] дает теорема об ограниченной сходимости как применение третьего принципа. Теорема утверждает, что если равномерно ограниченная последовательность функций сходится поточечно, то их интегралы на множестве конечной меры сходятся к интегралу от предельной функции. Если бы сходимость была равномерной, это был бы тривиальный результат, а третий принцип Литтлвуда говорит нам, что сходимость почти равномерна, то есть равномерна вне набора сколь угодно малой меры. Поскольку последовательность ограничена, вклад в интегралы малого множества может быть сколь угодно малым, а интегралы по остатку сходятся, поскольку функции сходятся там равномерно.

Примечания

  1. ^ Литтлвуд, Дж. Э. (1944). Лекции по теории функций. Издательство Оксфордского университета. п.26. OCLC  297140.
  2. ^ Ройден, Х. Л. (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. п.72. ISBN  978-0-02-404151-7.
  3. ^ Брессуд, Дэвид (2008). Радикальный подход к теории интеграции Лебега. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п.191. ISBN  978-0-521-88474-7.
  4. ^ Штейн, Элиас; Рами Шакарчи (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства (PDF). Принстон: Издательство Принстонского университета. п. 33. ISBN  978-0-691-11386-9. Получено 2008-07-03.
  5. ^ Ройден (1988), стр. 84