Лемуан шестиугольник - Lemoine hexagon

Шестиугольник Лемуана с самопересекающейся связностью, описанный первым кругом Лемуана.

В геометрия, то Лемуан шестиугольник это циклический шестиугольник с вершины заданный шестью пересечениями ребер треугольник и три линии, параллельные краям, проходящим через его симедианная точка. Есть два определения шестиугольника, которые различаются порядком, в котором соединены вершины.

Площадь и периметр

Шестиугольник Лемуана можно определить двумя способами, во-первых, как простой шестиугольник с вершинами на пересечениях, как определено ранее. Второй - самопересекающийся шестиугольник с линиями, проходящими через симедианную точку, так как три ребра и три других ребра соединяют пары смежных вершин.

Для простого шестиугольника, нарисованного в виде треугольника со сторонами ${ displaystyle a, b, c}$ и площадь ${ displaystyle Delta}$ периметр задается

${ displaystyle p = { frac {a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} + 3abc} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}$

и площадь по

${ displaystyle K = { frac {a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} + a ^ {2} b ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} + c ^ {2} a ^ {2}} { left (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} right) ^ {2}}} Delta}$

Для самопересекающегося шестиугольника периметр задается формулой

${ displaystyle p = { frac { left (a + b + c right) left (ab + bc + ca right)} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} }}}$

и площадь по

${ displaystyle K = { frac {a ^ {2} b ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} + c ^ {2} a ^ {2}} { left (a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} right) ^ {2}}} Delta}$

По кругу

В геометрии пять точек определяют конус, поэтому произвольные наборы из шести точек обычно не лежат на коническом сечении, не говоря уже о окружности. Тем не менее шестиугольник Лемуана (с любым порядком соединения) - это циклический многоугольник, что означает, что все его вершины лежат на общей окружности. Описанная окружность шестиугольника Лемуана известна как первый круг Лемуана.

Рекомендации

• Кейси, Джон (1888), "Круги Лемуана, Такера и Тейлора", Продолжение первых шести книг об элементах Евклида, содержащее простое введение в современную геометрию с многочисленными примерами (5-е изд.), Дублин: Hodges, Figgis, & Co., стр. 179ff..
• Лемуан, Э. (1874), «Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un треугольник», Французская ассоциация развития науки, Congrès (002; 1873; Лион) (на французском языке), стр. 90–95..
• Маккей, Дж. С. (1895), «Симедианы треугольника и их сопутствующие окружности», Труды Эдинбургского математического общества, 14: 37–103, Дои:10.1017 / S0013091500031758.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Шестиугольник Лемуана". MathWorld.