Дзета-функция Лефшеца - Lefschetz zeta function

В математика, то Лефшец дзета-функция инструмент, используемый в топологической периодической и фиксированная точка теория и динамические системы. Учитывая непрерывная карта ${ displaystyle f двоеточие от X до X}$, дзета-функция определяется как формальный ряд

${ displaystyle zeta _ {f} (z) = exp left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} L (f ^ {n}) { frac {z ^ {n}} { n}} right),}$

куда ${ Displaystyle L (е ^ {п})}$ это Число Лефшеца из ${ displaystyle n}$-го повторять из ${ displaystyle f}$. Эта дзета-функция примечательна в теории топологической периодической точки, потому что это единственный инвариант, содержащий информацию обо всех итерациях ${ displaystyle f}$.

Примеры

Карта идентичности на ${ displaystyle X}$ имеет дзета-функцию Лефшеца

${ displaystyle { frac {1} {(1-t) ^ { chi (X)}}},}$

куда ${ Displaystyle чи (X)}$ это Эйлерова характеристика из ${ displaystyle X}$, т.е. число Лефшеца тождественного отображения.

Для менее тривиального примера пусть ${ Displaystyle X = S ^ {1}}$ быть единичный круг, и разреши ${ displaystyle f двоеточие S ^ {1} to S ^ {1}}$ быть отражением в Иксось, то есть ${ Displaystyle е ( тета) = - тета}$. потом ${ displaystyle f}$ имеет номер Лефшеца 2, а ${ displaystyle f ^ {2}}$ - это тождественное отображение, которое имеет число Лефшеца 0. Аналогично, все нечетные итерации имеют число Лефшеца 2, а все четные итерации имеют число Лефшеца 0. Следовательно, дзета-функция ${ displaystyle f}$ является

${ Displaystyle { begin {align} zeta _ {f} (t) & = exp left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2t ^ {2n + 1}} {2n + 1}} right) & = exp left ( left {2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n}} right } - left {2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {t ^ {2n}} {2n}} right } right) & = exp left (-2 log (1-t) + log (1-t ^ {2}) right) & = { frac {1-t ^ {2}} {(1-t) ^ {2}}} & = { frac {1 + t} {1-t}} end {выровнено}}}$

Формула

Если ж - непрерывное отображение на компактном многообразии Икс измерения п (или, в более общем смысле, любой компактный многогранник), дзета-функция задается формулой

${ displaystyle zeta _ {f} (t) = prod _ {i = 0} ^ {n} det (1-tf _ { ast} | H_ {i} (X, mathbf {Q})) ^ {(- 1) ^ {i + 1}}.}$

Таким образом, это рациональная функция. Многочлены, входящие в числитель и знаменатель, по сути, являются характеристическими многочленами отображения, индуцированного ж на различных пространствах гомологии.

Подключения

Эта производящая функция по сути алгебраический форма Дзета-функция Артина – Мазура, который дает геометрический информация о фиксированных и периодических точках ж.

Смотрите также

• Теорема Лефшеца о неподвижной точке
• Дзета-функция Артина – Мазура

Рекомендации

• Фельштын, Александр (2000), "Динамические дзета-функции, теория Нильсена и кручение Рейдемейстера", Мемуары Американского математического общества, 147 (699), arXiv:chao-dyn / 9603017, МИСТЕР  1697460CS1 maint: формат MR (связь)