Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа - Lander, Parkin, and Selfridge conjecture

В Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа касается целочисленных решений уравнений, содержащих суммы одинаковых степеней. Уравнения являются обобщением рассмотренных в Последняя теорема Ферма. Гипотеза состоит в том, что если сумма некоторых k-я степень равна сумме некоторых других k-й степени, то общее количество членов в обеих суммах должно быть не менее k.

Фон

Диофантовы уравнения, например, целочисленная версия уравнения а² + б² = c² что появляется в теорема Пифагора, были изучены на предмет их целое число решение свойства на века. Последняя теорема Ферма заявляет, что для полномочия больше 2, уравнение а^k + б^k = c^k не имеет решений в ненулевом целые числа а, б, c. Увеличение количества термины на одной или обеих сторонах и с учетом более высоких степеней, чем 2, привело к Леонард Эйлер предложить в 1769 году, что для всех целых чисел п и k больше 1, если сумма п k-я степень натуральных чисел сама по себе kth power, тогда п Больше или равно k.

В символах, если${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}}$куда п > 1 и ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n}, b}$ натуральные числа, то его гипотеза заключалась в том, что п ≥ k.

В 1966, контрпример к Гипотеза Эйлера о сумме степеней был найден Леон Дж. Ландер и Томас Р. Паркин за k = 5:^[1]

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵.

В последующие годы в дальнейшем контрпримеры были найдены, в том числе для k = 4. Последний опроверг более конкретный Гипотеза Эйлера квартики, а именно, что а⁴ + б⁴ + c⁴ = d⁴ не имеет положительных целочисленных решений. Фактически, наименьшее решение, найденное в 1988 г.,

414560⁴ + 217519⁴ + 95800⁴ = 422481⁴.

Гипотеза

В 1967 г. Л. Дж. Ландер, Т. Р. Паркин и Джон Селфридж предполагаемый^[2] что если ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = sum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} ^ {k}}$, куда а_я ≠ б_j - натуральные числа для всех 1 ≤я ≤ п и 1 ≤j ≤ м, тогда м+п ≥ k. Формула равной суммы одинаковых степеней часто сокращается как (k, м, п).

Небольшие примеры с ${ displaystyle m = n = { frac {k} {2}}}$ (относится к общий номер такси ) включают ${ displaystyle 59 ^ {4} + 158 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4}}$ (известный Эйлеру) и ${ displaystyle 3 ^ {6} + 19 ^ {6} + 22 ^ {6} = 10 ^ {6} + 15 ^ {6} + 23 ^ {6}}$ (найден К. Субба Рао в 1934 г.).

Гипотеза в частном случае м = 1, что если

${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}}$

(при условиях, указанных выше), то п ≥ k − 1.

В этом частном случае м = 1, некоторые из известных решений, удовлетворяющих предложенному ограничению с п ≤ k, где термины положительные целые числа, следовательно, давая раздел силы на подобные силы:^[3]

k = 3

3³ + 4³ + 5³ = 6³.

k = 4

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴, (Роджер Фрай, 1988)

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴, (Р. Норри, 1911)

Последняя теорема Ферма утверждает, что для k = 4 гипотеза верна.

k = 5

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵, (Лендер, Паркин, 1966)

7⁵ + 43⁵ + 57⁵ + 80⁵ + 100⁵ = 107⁵, (Састры, 1934 г., третья по величине)

k = 6

(Неизвестно. По состоянию на 2002 год не существует решений с окончательным сроком ≤ 730000.^[4] )

k = 7

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷, (М. Додрил, 1999)

k = 8

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸, (Скотт Чейз, 2000)

k ≥ 9

(Никто не известен.)

Текущее состояние

Неизвестно, верна ли гипотеза или существуют решения, которые были бы контрпримерами, например а^k + б^k = c^k + d^k за k ≥ 5.

Смотрите также

• Экспериментальная математика (контрпримеры к гипотезе Эйлера о сумме степеней, особенно наименьшее решение для k = 4)
• Уравнение Якоби – Мэддена
• Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта
• Гипотеза Била
• Пифагорейская четверка
• Список нерешенных задач по математике
• Суммы полномочий, список связанных гипотез и теорем

Рекомендации

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел. Проблемные книги по математике (3-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. D1. ISBN  0-387-20860-7. Zbl  1058.11001.

внешняя ссылка

• EulerNet: вычисление минимальных равных сумм одинаковых степеней
• Ярослав Вроблевски Равные суммы одинаковых степеней
• Тито Пьезас III: Коллекция алгебраических тождеств
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - 5-я степень». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - шестая степень». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - 7-я степень». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - восьмая степень». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Эйлера о сумме степеней". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Эйлера квартики". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - 4 степени». MathWorld.
• Гипотеза Эйлера на library.thinkquest.org
• Простое объяснение гипотезы Эйлера по математике хорошо для вас!
• Математики находят новые решения древней головоломки
• Эд Пегг младший Суммы мощности, Математические игры