Йорданова операторная алгебра

В математика, Йордановы операторные алгебры реальны или сложны Йордановы алгебры с согласованной структурой банахова пространства. Когда коэффициенты действительные числа, алгебры называются Йордановы банаховы алгебры. Теория получила широкое развитие только для подкласса JB алгебры. Аксиомы для этих алгебр были разработаны Альфсен, Шульц и Стёрмер (1978). Те, которые могут быть реализованы конкретно как подалгебры самосопряженных операторов в вещественном или комплексном гильбертовом пространстве с операторным произведением Жордана и норма оператора называются JC алгебры. Аксиомы для комплексных йордановых операторных алгебр, впервые предложенные Ирвинг Каплански в 1976 г., требуют инволюции и называются JB * алгебры или же Йордановы C * алгебры. По аналогии с абстрактной характеристикой алгебры фон Неймана в качестве C * алгебры для которого базовое банахово пространство является двойственным другому, существует соответствующее определение Алгебры JBW. Те, которые можно реализовать с помощью сверхслабый закрытый Йордановы алгебры самосопряженных операторов с операторным жордановым произведением называются Алгебры JW. Алгебры JBW с тривиальным центром, так называемые Факторы JBW, классифицируются с точки зрения факторов фон Неймана: помимо исключительных 27-мерных Алгебра Альберта и спиновые факторывсе остальные факторы JBW изоморфны либо самосопряженной части фактора фон Неймана, либо его алгебре неподвижных точек относительно * -антиавтоморфизма периода два. Алгебры йордановых операторов применялись в квантовая механика И в сложная геометрия, куда Кехера описание ограниченные симметричные области с помощью Йордановы алгебры был расширен до бесконечных измерений.

Определения

JC алгебра

А JC алгебра - вещественное подпространство пространства самосопряженных операторов в вещественном или комплексном гильбертовом пространстве, замкнутое относительно операторного жорданова произведения а ∘ б = ½(ab + ба) и замкнутый по операторной норме.

JC алгебра

А JC алгебра замкнутое по норме самосопряженное подпространство пространства операторов в комплексном гильбертовом пространстве, замкнутое относительно операторного жорданова произведения а ∘ б = ½(ab + ба) и замкнутый по операторной норме.

А Йорданова операторная алгебра замкнутое по норме подпространство пространства операторов комплексного гильбертова пространства, замкнутое относительно жорданова произведения а ∘ б = ½(ab + ба) и замкнутый по операторной норме.^[1]

Йорданова банахова алгебра

А Йорданова банахова алгебра является вещественной йордановой алгеброй с нормой, делающей ее банаховым пространством и удовлетворяющей || а ∘ б || ≤ ||а||⋅||б||.

JB алгебра

А JB алгебра является йордановой банаховой алгеброй, удовлетворяющей

{ displaystyle displaystyle { | a ^ {2} | = | a | ^ {2}, , , , | a ^ {2} | leq | a ^ {2} + Ь ^ {2} |.}}

JB * алгебры

А JB * алгебра или же Йорданова C * алгебра комплексная йорданова алгебра с инволюцией а ↦ а* и норма, делающая его банаховым пространством и удовлетворяющая

||а ∘ б || ≤ ||а||⋅||б||
||а*|| = ||а||
||{а,а*,а}|| = ||а||³ где Иордания тройное произведение определяется как {а,б,c} = (а ∘ б) ∘ c + (c ∘ б) ∘ а − (а ∘ c) ∘ б.

Алгебры JW

А Алгебра JW является йордановой подалгеброй йордановой алгебры самосопряженных операторов на комплексном гильбертовом пространстве, замкнутом в слабая операторная топология.

Алгебры JBW

А Алгебра JBW является алгеброй JB, которая, как вещественное банахово пространство, является двойственным к банаховому пространству, называемому его преддуальный.^[2] Существует эквивалентное более техническое определение в терминах свойств непрерывности линейных функционалов в предуале, которое называется нормальные функционалы. Обычно это используется как определение и абстрактная характеристика двойственного банахова пространства, полученная как следствие.^[3]

Для упорядоченной структуры алгебры JB (определенной ниже) любая возрастающая сеть ограниченных по норме операторов должна иметь наименьшую верхнюю границу.
Нормальные функционалы - это функционалы, которые непрерывны на возрастающих ограниченных сетях операторов. Положительный нормальный функционал - это тот, который неотрицателен для положительных операторов.
Для каждого ненулевого оператора существует положительный нормальный функционал, не обращающийся в нуль на этом операторе.

Свойства алгебр JB

Если унитальная алгебра JB ассоциативный, то ее комплексификация с естественной инволюцией является коммутативной C * -алгеброй. Следовательно, он изоморфен C (Икс) для компактного хаусдорфова пространства Икс, пространство характеров алгебры.
Спектральная теорема. Если а - единственный оператор в алгебре JB, замкнутая подалгебра, порожденная 1 и а ассоциативно. Его можно отождествить с непрерывными действительными функциями на спектре а, множество действительных λ, для которых а - λ1 не обратимо.
Положительные элементы в унитальной алгебре JB - это элементы, спектр которых содержится в [0, ∞). По спектральной теореме они совпадают с пространством квадратов и образуют замкнутый выпуклый конус. Если б ≥ 0, то {а,б,а} ≥ 0.
Алгебра JB - это формально вещественная йорданова алгебра: если сумма квадратов членов равна нулю, то каждый член равен нулю. В конечных размерах алгебра JB изоморфна Евклидова йорданова алгебра.^[4]
В спектральный радиус на алгебре JB определяет эквивалентную норму, также удовлетворяющую аксиомам алгебры JB.
Состояние на унитальной алгебре JB - это ограниченный линейный функционал ж такой, что ж(1) = 1 и ж неотрицательна на положительном конусе. Пространство состояний - это выпуклое множество, замкнутое в слабой * топологии. Крайние точки называются чистыми состояниями. Данный а есть чистое состояние ж такой, что |ж(а)| = ||а||.
Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала: Если алгебра JB изоморфна самосопряженной п к п матрицы с коэффициентами в некоторой ассоциативной унитальной * -алгебре, то она изометрически изоморфна алгебре JC. Алгебра JC удовлетворяет дополнительному условию, что (Т + Т*) / 2 лежит в алгебре всякий раз, когда Т является произведением операторов из алгебры.^[5]
Алгебра JB - это чисто исключительный если он не имеет ненулевого йорданова гомоморфизма на алгебру JC. Единственная простая алгебра, которая может возникнуть как гомоморфный образ чисто исключительной алгебры JB, - это алгебра Алгебра Альберта, самосопряженные 3 × 3 матрицы над октонионы.
Каждая алгебра JB имеет однозначно определенный замкнутый идеал, который является чисто исключительным и такой, что фактор по идеалу является алгеброй JC.
Теорема Ширшова – Кона. Алгебра JB, порожденная 2 элементами, является алгеброй JC.^[6]

Свойства алгебр JB *

Определение алгебр JB * было предложено в 1976 г. Ирвинг Каплански на лекции в Эдинбурге. Действительная часть алгебры JB * всегда является алгеброй JB. Райт (1977) Доказано, что, наоборот, комплексификация любой JB-алгебры является JB * -алгеброй. Алгебры JB * широко использовались в качестве основы для изучения ограниченных симметрических областей в бесконечных измерениях. Это обобщает теорию конечных размеров, разработанную Макс Кехер с использованием комплексификация евклидовой йордановой алгебры.^[7]

Свойства алгебр JBW

Элементарные свойства

В Теорема Капланского о плотности для вещественных унитальных йордановых алгебр самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве с операторным йордановым произведением. В частности, йорданова алгебра замкнута в слабая операторная топология тогда и только тогда, когда он закрыт в топология сверхслабого оператора. Две топологии совпадают на йордановой алгебре.^[8]
Для алгебры JBW пространство положительных нормальных функционалов инвариантно относительно квадратичного представления Q(а)б = {а,б,а}. Если ж положительно, так и есть ж ∘ Q(а).
Слабая топология на алгебре JW M определяется полунормами |ж(а) | куда ж это нормальное состояние; сильная топология определяется полунормами |ж(а²)|^1/2. Квадратичное представление и операторы произведения Жордана L(а)б = а ∘ б являются непрерывными операторами на M как для слабой, так и для сильной топологии.
Идемпотент п в алгебре JBW M называется проекция. Если п это проекция, то Q(п)M является алгеброй JBW с единицей п.
Если а является любым элементом алгебры JBW, наименьшая порождаемая им слабо замкнутая унитальная подалгебра ассоциативна и, следовательно, является самосопряженной частью абелевой алгебры фон Неймана. Особенно а могут быть аппроксимированы по норме линейными комбинациями ортогональных проекций.
Проекторы в алгебре JBW замкнуты относительно решеточных операций. Таким образом для семьи п_α есть самый маленький выступ п такой, что п ≥ п_α и самый большой выступ q такой, что q ≤ п_α.
В центр алгебры JBW M состоит из всех z такой L(z) ездит с L(а) за а в M. Это ассоциативная алгебра и действительная часть абелевой алгебры фон Неймана. Алгебра JBW называется фактор если его центр состоит из скалярных операторов.
Если А является алгеброй JB, ее вторая двойственная А** - алгебра JBW. Нормальные состояния - это состояния в А* и может быть идентифицирован с состояниями на А. Более того, А** - алгебра JBW, порожденная А.
Алгебра JB является алгеброй JBW тогда и только тогда, когда, как реальное банахово пространство, она является двойственной к банахову пространству. Это банахово пространство, его преддуальный, - пространство нормальных функционалов, определяемых как разности положительных нормальных функционалов. Это функционалы, непрерывные для слабой или сильной топологий. Как следствие, слабая и сильная топологии совпадают на алгебре JBW.
В алгебре JBW алгебра JBW, порожденная йордановой подалгеброй, совпадает с ее слабым замыканием. Более того, имеет место расширение теоремы Капланского о плотности: единичный шар подалгебры слабо плотен в единичном шаре алгебры JBW, которую он порождает.
Теория Томиты – Такесаки был продлен Хаагеруп и Ханче-Ольсен (1984) нормальным состояниям алгебры JBW, которые являются точными, т.е.не обращаются в нуль ни на каком ненулевом положительном операторе. Теория может быть выведена из исходной теории алгебр фон Неймана.^[9]

Сравнение прогнозов

Позволять M быть фактором JBW. Внутренние автоморфизмы M порождены автоморфизмами периода два Q(1 – 2п) куда п это проекция. Две проекции эквивалентны, если существует внутренний автоморфизм, переносящий одну на другую. При наличии двух проекций фактора одна из них всегда эквивалентна подпроекции другой. Если каждый эквивалентен суб-проекции другого, они эквивалентны.

Фактор JBW можно разделить на три взаимоисключающих типа:

Если есть минимальная проекция, это тип I. Это тип I_п если 1 можно записать как сумму п ортогональные минимальные проекции для 1 ≤ п ≤ ∞.
Это тип II, если нет минимальных проекций, но есть подпроекции некоторых фиксированных проекций. е сформировать модульная решетка, т.е. п ≤ q подразумевает (п ∨ р) ∧ q = п ∨ (р ∧ q) для любой проекции р ≤ е. Если е можно принять за 1, это Тип II₁. В противном случае это тип II_≈.
Это тип III, если выступы не образуют модульную решетку. Тогда все ненулевые проекции эквивалентны.^[10]

Теория Томиты – Такесаки позволяет дополнительно классифицировать корпус типа III на типы III_λ (0 ≤ λ ≤ 1) с дополнительным инвариантом эргодический поток на Пространство Лебега («поток весов») при λ = 0.^[11]

Классификация факторов JBW I типа

Фактор JBW типа I₁ это действительные числа.
Факторы JBW типа I₂ являются спиновые факторы. Позволять ЧАС - реальное гильбертово пространство размерности больше 1. Положим M = ЧАС ⊕ р с внутренним продуктом (ты⊕λ,v⊕μ) = (ты,v) + λμ и произведение (u⊕λ) ∘ (v⊕μ) = (μты + λv) ⊕ [(ты,v) + λµ]. С операторной нормой ||L(а)||, M является фактором JBW, а также фактором JW.
Факторы JBW типа I₃ - самосопряженные 3 на 3 матрицы с вещественными числами, сложные числа или кватернионы или октонионы.
Факторы JBW типа I_п с 4 ≤ п <∞ - самосопряженные п к п матрицы с записями в виде действительных чисел, комплексных чисел или кватернионов.
Факторы JBW типа I_∞ являются самосопряженными операторами на бесконечномерном вещественном, комплексном или кватернионное гильбертово пространство. Кватернионное пространство определяется как все последовательности Икс = (Икс_я) с Икс_я в ЧАС и ∑ |Икс_я|² <∞. В ЧАС-значный внутренний продукт определяется выражением (Икс,у) = ∑ (у_я)*Икс_я. Существует реальный внутренний продукт, который задается формулой (Икс,у)_р = Re (Икс,у). Кватернионный фактор JBW типа I_∞ является, таким образом, йордановой алгеброй всех самосопряженных операторов в этом вещественном внутреннем пространстве произведения, которые коммутируют с действием правого умножения на ЧАС.^[12]

Классификация факторов JBW типов II и III

Факторы JBW не I типа₂ и я₃ все являются факторами JW, т.е. могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии. Каждый фактор JBW, кроме I типа₂ или Тип I₃ изоморфна самосопряженной части алгебры неподвижных точек 2 * -антиавтоморфизма периода алгебры фон Неймана. В частности, каждый фактор JBW либо изоморфен самосопряженной части фактора фон Неймана того же типа, либо самосопряженной части алгебры неподвижных точек периода 2 * -антиавтоморфизма фактора фон Неймана того же типа.^[13] За гиперконечные факторы, класс факторов фон Неймана полностью классифицируется Конн и Хаагерупа 2 * -антиаутоморфизмы периода классифицированы с точностью до сопряженности в группе автоморфизмов фактора.^[14]

Смотрите также

Примечания

^ Блечер и Ван 2018, п. 1629 г.
^ Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984, п. 111
^ Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984, п. 94
^ Фараут и Кораньи 1994
^ Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984, стр. 75–90
^ Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984, стр. 155–156
^
Видеть:
- Ханче-Ольсен и Стормер 1984, стр. 90–92
- Upmeier 1985
^
Видеть:
^ Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984, стр. 94–119
^ Ханче-Ольсен, Стёрмер и 120–134
^ Haagerup и Hanche-Olsen 1984
^ Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984
^
Видеть:
- Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984, стр. 122–123
- Hanche-Olsen 1983
- Haagerup и Hanche-Olsen 1984, п. 347
^
Видеть:

Йорданова операторная алгебра - Jordan operator algebra - Wikipedia

Содержание

Определения

JC алгебра

JC алгебра