Джет группа - Jet group

В математика, а реактивная группа является обобщением общая линейная группа что относится к Полиномы Тейлора вместо векторов в момент. Группа реактивных двигателей - это группа из струи который описывает, как многочлен Тейлора преобразуется при изменении системы координат (или, что то же самое, диффеоморфизмы ).

Обзор

В k-й порядок реактивная группа грамм^п_k состоит из струи гладких диффеоморфизмов φ: р^п → р^п такое, что φ (0) = 0.^[1]

Ниже приводится более точное определение группы струй.

Позволять k ≥ 2. Дифференциал функции f: р^k → р можно интерпретировать как сечение котангенсного расслоения р^K данный df: р^k → Т *р^k. Аналогично производные порядка до м секции струйного пучка J^м(р^k) = р^k × W, куда

${ Displaystyle W = mathbf {R} times ( mathbf {R} ^ {*}) ^ {k} times S ^ {2} (( mathbf {R} ^ {*}) ^ {k} ) times cdots times S ^ {m} (( mathbf {R} ^ {*}) ^ {k}).}$

Здесь р* это двойное векторное пространство к р, и S^я обозначает я-й симметричная мощность. Гладкая функция f: р^k → р имеет продление j^мж: р^k → J^м(р^k), определенные в каждой точке п ∈ р^k разместив я-я часть ж в п в S^я((р*)^k) компонент W.

Рассмотрим точку ${ displaystyle p = (x, x ') in J ^ {m} ( mathbf {R} ^ {n})}$. Есть единственный многочлен ж_п в k переменные и порядка м такой, что п находится в образе j^мж_п. То есть, ${ displaystyle j ^ {k} (f_ {p}) (x) = x '}$. Дифференциальные данные Икс' может быть перенесен на другую точку у ∈ р^п в качестве j^мж_п(у) , частичные ж_п над у.

Предоставлять J^м(р^п) с групповой структурой, взяв

${ displaystyle (x, x ') * (y, y') = (x + y, j ^ {m} f_ {p} (y) + y ')}$

При такой структуре группы J^м(р^п) это Группа Карно класса м + 1.

Из-за свойств форсунок под функциональная композиция, грамм^п_k это Группа Ли. Группа реактивных двигателей - это полупрямой продукт общей линейной группы и связной односвязной нильпотентная группа Ли. Это также фактически алгебраическая группа, поскольку в композиции участвуют только полиномиальные операции.

Примечания

Рекомендации

• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии (PDF), Springer-Verlag, архивировано из оригинал (PDF) на 2017-03-30, получено 2014-05-02
• Крупка, Деметра; Янышка, Йозеф (1990), Лекции по дифференциальным инвариантам, Univerzita J. E. Purkyně V Brně, ISBN  80-210-0165-8
• Сондерс, Д.Дж. (1989), Геометрия струйных пучков, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-36948-7

Этот алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.