Изотермические координаты - Isothermal coordinates

В математика особенно в дифференциальная геометрия, изотермические координаты на Риманово многообразие - локальные координаты, где метрика являетсяконформный к Евклидова метрика. Это означает, что в изотермических координатах Риманова метрика локально имеет вид

{displaystyle g = varphi (dx_ {1} ^ {2} + cdots + dx_ {n} ^ {2}),}

куда ${displaystyle varphi}$ это гладкая функция. (Если риманово многообразие ориентировано, некоторые авторы настаивают на том, что система координат должна согласовываться с этой ориентацией, чтобы быть изотермической.)

Изотермические координаты на поверхностях были впервые введены Гаусс. Корн и Лихтенштейн доказали, что изотермические координаты существуют вокруг любой точки на двумерном римановом многообразии. На многомерных римановых многообразиях необходимым и достаточным условием их локального существования является обращение в нуль Тензор Вейля и из Тензор хлопка.

Изотермические координаты на поверхностях

Гаусс (1822) доказал существование изотермических координат на произвольной поверхности с вещественной аналитической метрикой, следуя результатамЛагранж (1779) на поверхностях вращения. Результаты для непрерывных метрик Гёльдера были получены Корн (1916) и Лихтенштейн (1916). Позже отчеты были даны Морри (1938), Альфорс (1955), Берс (1952) и Черн (1955). Особенно простая учетная запись с использованием Звездный оператор Ходжа дается в ДеТюрк и Каздан (1981).

Уравнение Бельтрами

Доказательство существования изотермических координат^[1] применяя известные теоремы существования Уравнение Бельтрами, которые опираются на L^п оценки для сингулярные интегральные операторы из Кальдерон и Зигмунд.^[2]^[3] Более простой подход к уравнению Бельтрами был недавно предложен Адриан Дуади.^[4]

Если риманова метрика задана локально как

{displaystyle ds ^ {2} = E, dx ^ {2} + 2F, dx, dy + G, dy ^ {2},}

то в комплексной координате z = Икс + яу, он принимает вид

{displaystyle ds ^ {2} = лямбда |, dz + mu, d {overline {z}} | ^ {2},}

где λ и μ гладкие с λ> 0 и | μ | <1. Фактически

{displaystyle lambda = {1 over 4} (E + G + 2 {sqrt {EG-F ^ {2}}}) ,,,, mu = (E-G + 2iF) / 4lambda.}

В изотермических координатах (ты, v) метрика должна иметь вид

{displaystyle ds ^ {2} = ho (du ^ {2} + dv ^ {2})}

с ρ> 0 гладкой. Комплексная координата ш = ты + я v удовлетворяет

{displaystyle ho, | dw | ^ {2} = ho | w_ {z} | ^ {2} |, dz + {w_ {overline {z}} над w_ {z}}, d {overline {z}} | ^ {2},}

так что координаты (ты, v) будет изотермическим, если Уравнение Бельтрами

{displaystyle {частичное w вместо частичного {overline {z}}} = mu {частичное w вместо частичного z}}

имеет диффеоморфное решение. Доказано, что такое решение существует в любой окрестности, где || μ ||_∞ < 1.

Звездный оператор Ходжа

Новые координаты ты и v являются изотермическими при условии, что

{displaystyle star du = dv,}

куда ${displaystyle star}$ это Звездный оператор Ходжа определяется метрикой.^[5]

Позволять ${displaystyle Delta = d ^ {*} d}$ быть Оператор Лапласа – Бельтрами по функциям.

Тогда по стандартной эллиптической теории ты может быть выбран гармонический вблизи заданной точки, т.е. Δ ты = 0, причем ду не исчезают.^[5]^[6]

Действительно, поскольку задача локальна, достаточно описать решение на торе Т² наделен римановой метрикой. В этом случае Δ ж = грамм можно решить около 0 с заданными начальными значениями ж(0), df(0).

Это можно доказать с помощью L² Соболевские пространства ЧАС_s(Т²) за s ≥ 0.^[7] Эти гильбертовы пространства могут быть определены в терминах Δ и римановой структуры, но они не зависят от этих структур. Следует, что я + Δ дает линейный изоморфизм из ЧАС_s+2(Т²) на ЧАС_s(Т²) и что Δ ж = грамм разрешимо тогда и только тогда, когда грамм ортогонален константам. С другой стороны, стандартные методы подразумевают аппроксимационную теорему:^[8] гладкие функции, обращающиеся в нуль в окрестности точки, плотны в ЧАС_s(Т²) за s ≤ 1 (способ доказательства см. Ниже).

В частности, плотность означает, что для любого s > 0 small есть гладкие функции грамм равный 0 около 1, ортогональный константам в ЧАС_s(Т²) такая, что функции ж = ∆⁻¹ грамм плотны в подпространстве ЧАС_s+2(Т²) ортогональные константам. По эллиптической регулярности эти ж гладкие. Посредством Теорема вложения Соболева ЧАС_s+2(Т²) лежит в C¹(Т²); плотности в пространстве Соболева следует, что ж(0), df(0) принимают все возможные значения, как заявлено.

Приведенная выше аппроксимационная теорема может быть доказана теми же методами, что и соответствующий одномерный результат: гладкие функции, обращающиеся в нуль в окрестности точки, плотны в ЧАС_s(Т) за s ≤ 1/2. Для простоты будет описан только этот случай. Достаточно доказать это для точки 1 единичной окружности Т. По преобразованию Кэли между кругом и действительной линией функции, обращающиеся в нуль до бесконечного порядка в 1 в C^∞(Т) можно отождествить с S(р), пространство Функции Шварца на р. Гладкие функции компактного носителя плотны в S(р); и поэтому А пространство гладких функций, исчезающих в окрестности 1 в C^∞(Т) плотно в пространстве гладких функций, равных нулю со всеми их производными в 1. По Теорема Стоуна-Вейерштрасса, А равномерно плотный в C₀(Т{1}). Таким образом, если час лежит в B, идеал в C¹(Т) функций, равных нулю со своей производной в 1, час и час' можно равномерно аппроксимировать функцией от А. Следовательно А плотно в B. С другой стороны C¹(Т) в ЧАС_s(Т) если s ≤ 1/2. Чтобы доказать, что А плотно в ЧАС_s(Т), поэтому достаточно показать, что он содержит функции а_п(θ}}) и б_п(θ) стремящаяся к нулю по соболевской норме с а_п(0) = 0, обращающийся в нуль в точке 1 и ∂_θа_п(0) = 1; и б_п(0) = 1 ad ∂_θб_п(0) = 0. Подходящие функции:

а п (θ) = грех п θ / п

и

б п (θ) = c п (θ) / c п (0)

куда

c п (θ) = \sum (1 - п -1) k потому что k θ

/ k бревно k}}.^[9]

Посредством Лемма Пуанкаре ${displaystyle star du = dv}$ имеет локальное решение v именно когда ${displaystyle dstar du = 0}$ .

С

{displaystyle star dstar = d ^ {*},}

это эквивалентно Δты = 0, а значит, существует локальное решение.

С ду отличен от нуля и квадрат звездочного оператора Ходжа равен −1 на 1-формах, ду и dv обязательно линейно независимы, поэтому ты и v дать локальные изотермические координаты.

Гауссова кривизна

В изотермических координатах (ты, v), Гауссова кривизна принимает более простую форму

{displaystyle K = - {frac {1} {2}} e ^ {- ho} left ({frac {partial ^ {2} ho} {partial u ^ {2}}} + {frac {partial ^ {2}) ho} {частичный v ^ {2}}} ight),}

куда ${displaystyle varphi = e ^ {ho}}$ .

Смотрите также

Примечания

^ Имаёши и Танигучи 1992, стр. 20–21
^ Альфорс 1966, стр. 85–115
^ Имаёши и Танигучи 1992, стр. 92–104
^ Дуади и Бафф 2000
^ ^а ^б ДеТурк и Каздан 1981; Тейлор 1996, стр. 377–378
^ Для альтернативного доказательства с использованием теория потенциала и сингулярные интегральные операторы, видеть Берс, Джон и Шехтер, 1979 г., стр. 228–230
^
Видеть:
^ Хёрмандер 1990
^ Зигмунд 2002

внешняя ссылка

«Изотермические координаты», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Имаёши и Танигучи 1992, стр. 20–21

[2] Альфорс 1966, стр. 85–115

[3] Имаёши и Танигучи 1992, стр. 92–104

[4] Дуади и Бафф 2000

[Hodgestar-5] а ^б ДеТурк и Каздан 1981; Тейлор 1996, стр. 377–378

[6] Для альтернативного доказательства с использованием теория потенциала и сингулярные интегральные операторы, видеть Берс, Джон и Шехтер, 1979 г., стр. 228–230

[7] Видеть:
Берс, Джон и Шехтер, 1979 г.
Уорнер 1983
Тейлор 1996

[8] Берс, Джон и Шехтер, 1979 г.

[9] Уорнер 1983

[10] Тейлор 1996

[8] Хёрмандер 1990

[9] Зигмунд 2002

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]