в математика из обработка сигналов, то гармоническое вейвлет-преобразование, представлен Дэвид Эдвард Ньюленд в 1993 г. вейвлет -основное линейное преобразование заданной функции в частотно-временное представление. Он сочетает в себе преимущества кратковременное преобразование Фурье и непрерывное вейвлет-преобразование. Это может быть выражено в виде повторяющихся Преобразования Фурье, а его дискретный аналог можно эффективно вычислить с помощью быстрое преобразование Фурье алгоритм.
Гармонические вейвлеты
Преобразование использует семейство "гармонических" вейвлетов, индексированных двумя целыми числами. j («уровень» или «порядок») и k («перевод»), данный
, куда
![{displaystyle w (t) = {frac {e ^ {i4pi t} -e ^ {i2pi t}} {i2pi t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2ef28883072dcd48d0ca14bd4c0c4ff597cbc0)
Эти функции ортогональны, а их преобразования Фурье представляют собой квадрат оконная функция (постоянный в определенной октавной полосе и ноль в другом месте). В частности, они удовлетворяют:
![{displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} w ^ {*} (2 ^ {j} tk) cdot w (2 ^ {j '} t-k'), dt = {frac {1} {2 ^ {j}}} дельта _ {j, j '} дельта _ {k, k'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d3d47d4b509e7231e363e7114c3710b2e7062b)
![{displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} w (2 ^ {j} t-k) cdot w (2 ^ {j '} t-k'), dt = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295f26eba43823581cfbdb640dce6b5921081cea)
где "*" означает комплексное сопряжение и
является Дельта Кронекера.
В порядке j увеличивается, эти вейвлеты становятся более локализованными в пространстве Фурье (частоте) и в более высоких частотных диапазонах и, наоборот, становятся менее локализованными во времени (т). Следовательно, когда они используются как основа для расширения произвольной функции они представляют поведение функции в разных временных масштабах (и в разных временных смещениях для разных k).
Однако можно объединить все отрицательные заказы (j <0) вместе в единое семейство «масштабирующих» функций
куда
![{displaystyle varphi (t) = {frac {e ^ {i2pi t} -1} {i2pi t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a80b19d6708def128ca7007f0248b91b04e3b29)
Функция φ ортогонален себе для разных k а также ортогонален вейвлет-функциям для неотрицательных j:
![{displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} varphi ^ {*} (t-k) cdot varphi (t-k '), dt = delta _ {k, k'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb65dd6b920afd05c2a69dc4042af291b64654a)
![{displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} w ^ {*} (2 ^ {j} t-k) cdot varphi (t-k '), dt = 0 {ext {for}} jgeq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07e676811c8fb083f1012ea73a3fc8add978cf3)
![{displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} varphi (t-k) cdot varphi (t-k '), dt = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8717777e3c95bc87613c5d4be037669448a968)
![{displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} w (2 ^ {j} t-k) cdot varphi (t-k '), dt = 0 {ext {for}} jgeq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9c7055c25f6744f1dd74f843ce0ba0b47d9d06)
Следовательно, в гармоническом вейвлет-преобразовании произвольная действительная или комплексная функция
(в L2 ) раскладывается по базису гармонических всплесков (для всех целых чисел j) и их комплексные конъюгаты:
![{displaystyle f (t) = sum _ {j = -infty} ^ {infty} sum _ {k = -infty} ^ {infty} left [a_ {j, k} w (2 ^ {j} tk) + { ilde {a}} _ {j, k} w ^ {*} (2 ^ {j} tk) ight],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa800a8da4b188d3100e527c73b8dc739c98598)
или альтернативно в основе вейвлетов для неотрицательных j дополнены функциями масштабирования φ:
![{displaystyle f (t) = sum _ {k = -infty} ^ {infty} left [a_ {k} varphi (tk) + {ilde {a}} _ {k} varphi ^ {*} (tk) ight] + sum _ {j = 0} ^ {infty} sum _ {k = -infty} ^ {infty} left [a_ {j, k} w (2 ^ {j} tk) + {ilde {a}} _ { j, k} w ^ {*} (2 ^ {j} tk) ight].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2732f0e9f3b2a93fed22bdf21a1244485f01b0db)
Коэффициенты разложения в принципе могут быть вычислены с использованием соотношений ортогональности:
![{displaystyle {egin {align} a_ {j, k} & {} = 2 ^ {j} int _ {- infty} ^ {infty} f (t) cdot w ^ {*} (2 ^ {j} tk) , dt {ilde {a}} _ {j, k} & {} = 2 ^ {j} int _ {- infty} ^ {infty} f (t) cdot w (2 ^ {j} tk), dt a_ {k} & {} = int _ {- infty} ^ {infty} f (t) cdot varphi ^ {*} (tk), dt {ilde {a}} _ {k} & {} = int _ {- infty} ^ {infty} f (t) cdot varphi (tk), dt.end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbf4887913d6e6936ca325fc3f440b518e6dffb)
Для действительной функции ж(т),
и
таким образом, можно вдвое сократить количество независимых коэффициентов расширения.
Это расширение обладает свойством, аналогичным Теорема Парсеваля, который:
![{displaystyle {egin {align} & sum _ {j = -infty} ^ {infty} sum _ {k = -infty} ^ {infty} 2 ^ {- j} left (| a_ {j, k} | ^ {2 } + | {ilde {a}} _ {j, k} | ^ {2} ight) & {} = sum _ {k = -infty} ^ {infty} left (| a_ {k} | ^ {2 } + | {ilde {a}} _ {k} | ^ {2} ight) + sum _ {j = 0} ^ {infty} sum _ {k = -infty} ^ {infty} 2 ^ {- j} left (| a_ {j, k} | ^ {2} + | {ilde {a}} _ {j, k} | ^ {2} ight) & {} = int _ {- infty} ^ {infty} | f (x) | ^ {2}, dx.end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf4535d61f82ad9f606363a316b452641556a44)
Однако вместо того, чтобы вычислять коэффициенты разложения непосредственно из соотношений ортогональности, это можно сделать, используя последовательность преобразований Фурье. Это намного эффективнее в дискретном аналоге этого преобразования (дискретное т), где он может использовать быстрое преобразование Фурье алгоритмы.
Рекомендации
- Дэвид Э. Ньюленд, "Гармонический вейвлет-анализ". Труды Лондонского королевского общества, серия A (математические и физические науки), т. 443, нет. 1917, стр. 203–225 (8 октября 1993 г.).
- Вейвлеты: ключ к прерывистой информации Б. В. Сильверман и Дж. К. Вассиликос, Oxford University Press, 2000. (ISBN 0-19-850716-X)
- Б. Боашаш, редактор, «Частотно-временной анализ и обработка сигналов - исчерпывающий справочник», Elsevier Science, Oxford, 2003.