Гипотеза Ханны Нойман - Hanna Neumann conjecture

В математическом предмете теория групп, то Гипотеза Ханны Нойман это заявление о классифицировать пересечения двух конечно порожденный подгруппы из свободная группа. Гипотеза была высказана Ханна Нойманн в 1957 г.[1]В 2011 г.был усилен вариант гипотезы (см. ниже ) был независимо доказан Джоэлем Фридманом[2]и Игорь Минеев.[3]

В 2017 году было опубликовано третье доказательство гипотезы Усиленной Ханны Нойман, основанное на гомологических аргументах, вдохновленных pro-p-group соображений, опубликовал Андрей Жайкин-Запирейн. [4]

История

Предмет гипотезы изначально был мотивирован 1954 Теорема Хаусона[5] который доказал, что пересечение любых двух конечно порожденный подгруппы из свободная группа всегда конечно порожден, т. е. имеет конечное классифицировать. В этой статье Хаусон доказал, что если ЧАС и K находятся подгруппы свободной группы F(Икс) конечных рангов п ≥ 1 и м ≥ 1, то ранг s из ЧАС ∩ K удовлетворяет:

s − 1 ≤ 2млн − м − п.

В статье 1956 г.[6] Ханна Нойманн улучшил эту границу, показав, что:

s − 1 ≤ 2млн − 2м − п.

В приложении 1957 г.[1] Ханна Нойман дополнительно улучшила эту оценку, чтобы показать, что при сделанных выше предположениях

s − 1 ≤ 2(м − 1)(п − 1).

Она также предположила, что множитель 2 в приведенном выше неравенстве не нужен и что всегда

s − 1 ≤ (м − 1)(п − 1).

Это заявление стало известно как Гипотеза Ханны Нойман.

Официальное заявление

Позволять ЧАС, K ≤ F(Икс) - две нетривиальные конечно порожденные подгруппы свободная группа F(Икс) и разреши L = ЧАС ∩ K быть пересечением ЧАС и K. Гипотеза гласит, что в этом случае

классифицировать(L) - 1 ≤ (ранг (ЧАС) - 1) (ранг (K) − 1).

Здесь для группы грамм количественный ранг (грамм) это классифицировать из грамм, то есть наименьший размер генераторная установка за грамм.Каждый подгруппа из свободная группа как известно свободный сам и классифицировать из свободная группа равен размеру любой свободной основы этой свободной группы.

Усиленная гипотеза Ханны Нойман

Если ЧАС, K ≤ грамм две подгруппы группа грамм и если а, б ∈ грамм определить то же самое двойной смежный класс HaK = HbK затем подгруппы ЧАС ∩ ака−1 и ЧАС ∩ bKb−1 находятся сопрягать в грамм и таким же классифицировать. Известно, что если ЧАС, K ≤ F(Икс) находятся конечно порожденный подгруппы конечно порожденного свободная группа F(Икс), то существует не более конечного числа классов двойных смежных классов HaK в F(Икс) такие, что ЧАС ∩ ака−1 ≠ {1}. Предположим, что существует хотя бы один такой двойной класс смежности, и пусть а1,...,ап - все различные представители таких двойных классов смежности. В усиленная гипотеза Ханны Нойман, сформулированный ее сыном Вальтер Нойман (1990),[7] заявляет, что в этой ситуации

Усиленная гипотеза Ханны Нойман была доказана в 2011 году Джоэлем Фридманом.[2]Вскоре после этого Игорь Минеев дал еще одно доказательство.[3]

Частичные результаты и другие обобщения

  • В 1971 году Бернс улучшил[8] Оценка Ханны Нойман 1957 г. и доказательство того, что при тех же предположениях, что и в статье Ханны Нойманн,
s ≤ 2млн − 3м − 2п + 4.
  • В статье 1990 г.[7] Вальтер Нойман сформулировал усиленную гипотезу Ханны Нойман (см. Утверждение выше).
  • Тардос (1992)[9] установила усиленную гипотезу Ханны Нейман для случая, когда хотя бы одна из подгрупп ЧАС и K из F(Икс) имеет второй ранг. Как и большинство других подходов к гипотезе Ханны Нойман, Тардос использовал технику Графы подгрупп Столлингса[10] для анализа подгрупп свободных групп и их пересечений.
  • Уоррен Дикс (1994)[11] установил эквивалентность усиленной гипотезы Ханны Нойман и теоретико-графического утверждения, которое он назвал гипотеза об объединенном графе.
  • Аржанцева (2000) доказала[12] что если ЧАС - конечно порожденная подгруппа бесконечного индекса в F(Икс), то в определенном статистическом смысле для типичной конечно порожденной подгруппы в , у нас есть ЧАС ∩ гкг−1 = {1} для всех грамм в F. Таким образом, усиленная гипотеза Ханны Нойман верна для любого ЧАС и общий K.
  • В 2001 году Дикс и Formanek установила усиленную гипотезу Ханны Нойман для случая, когда хотя бы одна из подгрупп ЧАС и K из F(Икс) имеет ранг не выше трех.[13]
  • Хан (2002)[14] и, независимо, Микин и Вейл (2002),[15] показал, что заключение усиленной гипотезы Ханны Нойман справедливо, если одна из подгрупп ЧАС, K из F(Икс) является положительно созданный, то есть порожденный конечным набором слов, которые включают только элементы Икс но не из Икс−1 как буквы.
  • Иванов[16][17] и Дикс и Иванов[18] получили аналоги и обобщения результатов Ханны Нойман для пересечения подгруппы ЧАС и K из бесплатный продукт из нескольких групп.
  • Мудрый (2005) утверждал[19] что усиленная гипотеза Ханны Нейман влечет за собой еще одну давнюю теоретико-групповую гипотезу, согласно которой каждая группа с одним соотношением и кручением является последовательный (то есть каждый конечно порожденный подгруппа в такой группе конечно представленный ).

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Ханна Нойманн. На пересечении конечно порожденных свободных групп. Дополнение. Publicationes Mathematicae Debrecen, т. 5 (1957), стр. 128
  2. ^ а б Джоэл Фридман,"Пучки на графах, их гомологические инварианты и доказательство гипотезы Ханны Нойман" Американское математическое общество, 2014
  3. ^ а б Игорь Миневев,«Субмультипликативность и гипотеза Ханны Нойман». Анна. матем., 175 (2012), вып. 1, 393-414.
  4. ^ Андрей Жайкин-Запирин, Аппроксимация подгруппами конечного индекса и гипотеза Ханны Нейман, Математический журнал герцога, 166 (2017), нет. 10. С. 1955–1987.
  5. ^ А. Г. Хоусон. На пересечении конечно порожденных свободных групп. Журнал Лондонского математического общества, т. 29 (1954), стр. 428–434.
  6. ^ Ханна Нойманн. На пересечении конечно порожденных свободных групп. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.
  7. ^ а б Вальтер Нойман. О пересечениях конечно порожденных подгрупп свободных групп. Группы – Канберра 1989, стр. 161–170. Конспект лекций по математике, т. 1456, Спрингер, Берлин, 1990 г .; ISBN  3-540-53475-Х
  8. ^ Роберт Г. Бернс.О пересечении конечно порожденных подгрупп свободной группы. Mathematische Zeitschrift, т. 119 (1971), стр. 121–130.
  9. ^ Габор Тардос. О пересечении подгрупп свободной группы.Inventiones Mathematicae, т. 108 (1992), нет. 1. С. 29–36.
  10. ^ Джон Р. Столлингс. Топология конечных графов. Inventiones Mathematicae, т. 71 (1983), нет. 3. С. 551–565.
  11. ^ Уоррен Дикс. Эквивалентность усиленной гипотезы Ханны Нойман и гипотезы об объединенном графе. Inventiones Mathematicae, т. 117 (1994), нет. 3. С. 373–389.
  12. ^ Г. Н. Аржанцева. Свойство подгрупп бесконечного индекса в свободной группе Proc. Амер. Математика. Soc. 128 (2000), 3205–3210.
  13. ^ Уоррен Дикс и Эдвард Форманек. Случай третьего ранга гипотезы Ханны Нойман. Журнал теории групп, вып. 4 (2001), нет. 2. С. 113–151.
  14. ^ Билал Хан. Положительно порожденные подгруппы свободных групп и гипотеза Ханны Нойман. Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000 / Хобокен, штат Нью-Джерси, 2001), 155–170, Contemporary Mathematics, vol. 296, г. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2002; ISBN  0-8218-2822-3
  15. ^ J. Meakin и P. Weil. Подгруппы свободных групп: вклад в гипотезу Ханны Нойман. Труды конференции по геометрической и комбинаторной теории групп, часть I (Хайфа, 2000). Geometriae Dedicata, т. 94 (2002), стр. 33–43.
  16. ^ Иванов С.В. Пересечение свободных подгрупп в свободных произведениях групп. Международный журнал алгебры и вычислений, вып. 11 (2001), нет. 3. С. 281–290.
  17. ^ Иванов С.В. О ранге Куроша пересечения подгрупп в свободных произведениях групп. Успехи в математике, т. 218 (2008), нет. 2. С. 465–484.
  18. ^ Уоррен Дикс и С.В. Иванов. О пересечении свободных подгрупп в свободных произведениях групп. Математические труды Кембриджского философского общества, вып. 144 (2008), нет. 3. С. 511–534.
  19. ^ Когерентность групп одного отношения с кручением и гипотеза Ханны Нойман. Бюллетень Лондонского математического общества, т. 37 (2005), нет. 5. С. 697–705.