Гипотеза Холла - Halls conjecture - Wikipedia

В математика, Гипотеза Холла вопрос открытый, по состоянию на 2015 г., о различиях между идеальные квадраты и идеальные кубики. Он утверждает, что идеальный квадрат у2 и идеальный куб Икс3 которые не равны, должны находиться на значительном расстоянии друг от друга. Этот вопрос возник в результате рассмотрения Уравнение морделла в теории целые точки на эллиптические кривые.

Первоначальная версия гипотезы Холла, сформулированная Маршалл Холл младший в 1970 году, говорит, что существует положительная постоянная C такой, что для любых целых чисел Икс и у для которого у2 ≠ Икс3,

Холл предположил, что возможно C можно было принять за 1/5, что согласовывалось со всеми данными, известными на момент выдвижения гипотезы. Данилов в 1982 году показал, что показатель степени 1/2 в правой части (то есть использование |Икс|1/2) не может быть заменен какой-либо более высокой степенью: для любого δ> 0 существует ли постоянная C такой, что |у2 - Икс3| > C |Икс|1/2 + δ в любое время у2 ≠ Икс3.

В 1965 году Давенпорт доказал аналог вышеприведенной гипотезы в случае многочленов: если ж(т) и грамм(т) ненулевые многочлены над C такой, что грамм(т)3 ≠ ж(т)2 в C[т], тогда

В слабый форма гипотезы Холла, сформулированная Старком и Троттером около 1980 г., заменяет квадратный корень в правой части неравенства любым показателем меньше чем 1/2: для любого ε > 0 существует некоторая постоянная c(ε) зависящая от ε такая, что для любых целых чисел Икс и у для которого у2 ≠ Икс3,

Оригинал, сильный, форма гипотезы с показателем 1/2 никогда не опровергалась, хотя она больше не считается верной и член Гипотеза Холла теперь обычно означает версию с буквой ε в ней. Например, в 1998 г. Ноам Элкис нашел пример

4478849284284020423079182 - 58538865167812233 = -1641843,

для которого совместимость с гипотезой Холла потребовала бы C быть меньше 0,0214 ≈ 1/50, то есть примерно в 10 раз меньше, чем первоначальный выбор 1/5, предложенный Холлом.

Слабая форма гипотезы Холла вытекает из Гипотеза ABC.[1] Обобщение на другие совершенные силы Гипотеза Пиллаи.

В таблице ниже представлены известные случаи с . Обратите внимание, что у может быть вычислено как ближайшее целое число к Икс3/2.

#Икср
121.41
252344.26[а]
381583.76[а]
4938441.03[а]
53678062.93[а]
64213511.05[а]
77201143.77[а]
89397873.16[а]
9281873514.87[а]
101107813861.23[а]
111543192691.08[а]
123842427661.34[а]
133906200821.33[а]
1437906892012.20[а]
15655894283782.19[b]
169527643894461.15[b]
17124385172601051.27[b]
18354956942274891.15[b]
19531970869582901.66[b]
20585388651678122346.60[b]
21128136087661028061.30[b]
22234155460671248921.46[b]
23381159910678612716.50[b]
243220012997963798441.04[b]
254714770859993898821.38[b]
268105747624039770644.66[b]
2798708846171635187701.90[c]
28425323745801899660733.47[c]
29516988914324297063821.75[c]
30446483294635179205351.79[c]
312314116676272256506493.71[c]
326017246822803103640651.88[c]
3349967988232452997505332.17[c]
3455929303781828488744041.38[c]
35140387906742566912308471.27[c]
367714803271396068026860410.18[d]
371801790042951058496688185.65[d]
383721933779672384749608831.33[c]
3966494777981832420567813616.53[c]
4020288713731858925006361551.14[d]
41107478350834710812688258561.35[c]
42372239000787342151819465871.38[c]
43695869516104856333674914171.22[e]
4436904453831732273063766347201.51[c]
451335457635742620546171476413491.69[e]
4616292129774381720734239614078710.65[e]
473741926908962192108781216451712.97[e]
484018447745008187811646238211771.29[e]
495008592245886461064036690092911.06[e]
5011145923086309958051235711518441.04[f]
51397395909250547735077903633468133.75[e]
528626111438107247636133661166438581.10[e]
5310625217510247713765900622799758591.006[e]
5460786730431260840650079021758469551.03[c]
  1. ^ а б c d е ж грамм час я j k л м J. Gebel, A. Pethö и H.G. Zimmer.
  2. ^ а б c d е ж грамм час я j k л Ноам Д. Элкис.
  3. ^ а б c d е ж грамм час я j k л м п о И. Хименес Кальво, Х. Эрранц и Г. Саес.
  4. ^ а б c Йохан Босман (с использованием программного обеспечения JHS).
  5. ^ а б c d е ж грамм час я С. Аандераа, Л. Кристиансен и Х.К. Рууд.
  6. ^ Л.В. Данилов. Пункт 50 принадлежит бесконечной последовательности, найденной Даниловым.

Рекомендации

  1. ^ Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения. Конспект лекций по математике. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag. С. 205–206. ISBN  3-540-54058-Х. Zbl  0754.11020.
  • Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. D9. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
  • Холл-младший, Маршалл (1971). "Диофантово уравнение Икс3 - у2 = k". В Аткин, А.О.Л.; Берч, Б. Дж. (ред.). Компьютеры в теории чисел. С. 173–198. ISBN  0-12-065750-3. Zbl  0225.10012.
  • Элкис, Н.Д. "Рациональные точки вблизи кривых и малых ненулевых | 'x3 - у2'| через редукцию решетки ", http://arxiv.org/abs/math/0005139
  • Данилов Л.В. Диофантово уравнение 'x3 - у2 «'= k' и гипотеза Холла», «Математика. Заметки АН СССР». 32(1982), 617-618.
  • Gebel, J., Pethö, A., и Zimmer, H.G .: «Об уравнении Морделла», Compositio Math. 110(1998), 335-367.
  • И. Хименес Кальво, Х. Эрранц и Г. Саес Морено, "Новый алгоритм поиска малых ненулевых | 'x3 - y2' | значений", 'Math. Comp. ' 78 (2009), стр. 2435-2444.
  • С. Аандераа, Л. Кристиансен и Х. К. Рууд, "Поиск хороших примеров гипотезы Холла", 'Math. Comp. ' 87 (2018), 2903-2914.

внешняя ссылка