Обхват (функциональный анализ) - Girth (functional analysis)

В функциональный анализ, то обхват из Банахово пространство это инфимум длины центрально-симметричный простые замкнутые кривые в единичная сфера пространства. Эквивалентно, это вдвое больше нижнего предела расстояний между противоположными точками сферы, измеренного внутри сферы.[1][2]

Каждое конечномерное банахово пространство имеет пару противоположных точек на единичной сфере, которая достигает минимального расстояния, и центрально-симметричную простую замкнутую кривую, которая достигает минимальной длины. Однако такая кривая не всегда может существовать в бесконечномерных пространствах.[1]

Обхват всегда равен минимум четырем, потому что кратчайший путь на единичной сфере между двумя противоположными точками не может быть короче, чем отрезок длиной два, соединяющий их через начало пространства. Банахово пространство, для которого ровно четыре, называется плоский. Существуют плоские банаховы пространства бесконечной размерности, в которых обхват достигается кривой минимальной длины; пример - пространство C[0,1] непрерывных функций из единичный интервал к действительные числа, с sup norm. Единичная сфера такого пространства обладает тем парадоксальным свойством, что определенные пары противоположных точек имеют такое же расстояние внутри сферы, как и во всем пространстве.[3]

Обхват непрерывная функция на Компакт Банаха – Мазура, пространство, точки которого соответствуют нормированным векторным пространствам заданной размерности.[2] Обхват двойное пространство нормированного векторного пространства всегда равна обхвату исходного пространства.[2][4]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Шеффер, Хуан Хорхе (1967), «Внутренний диаметр, периметр и обхват сфер», Mathematische Annalen, 173: 79–82, Дои:10.1007 / BF01351519, МИСТЕР  0218875.
  2. ^ а б c Альварес Пайва, Дж. К. (2006), "Некоторые проблемы финслеровой геометрии", Справочник по дифференциальной геометрии. Vol. II, Elsevier / North-Holland, Амстердам, стр. 1–33, Дои:10.1016 / S1874-5741 (06) 80004-X, МИСТЕР  2194667. См. В частности п. 16.
  3. ^ Harrell, R.E .; Карловиц, Л. А. (1970), "Обхват и плоские банаховы пространства", Бюллетень Американского математического общества, 76: 1288–1291, Дои:10.1090 / S0002-9904-1970-12643-X, МИСТЕР  0267383.
  4. ^ Альварес Пайва, Дж. К. (2006), «Двойные сферы имеют одинаковый обхват» (PDF), Американский журнал математики, 128 (2): 361–371, arXiv:математика / 0408414, Дои:10.1353 / айм.2006.0015, МИСТЕР  2214896.