Доказательства, которые действительно важны - Proofs That Really Count

Действительно важные доказательства: искусство комбинаторного доказательства это книга по математике для студентов комбинаторные доказательства из математические идентичности. То есть это касается уравнений между двумя целое число -значные формулы, равные либо показав, что обе стороны уравнения подсчитывают один и тот же тип математических объектов, либо найдя индивидуальная переписка между разными типами объектов, которые они считают. Это было написано Артур Т. Бенджамин и Дженнифер Куинн, и опубликованные в 2003 г. Математическая ассоциация Америки как том 27 их серии математических экспозиций Дольчиани. Он выиграл Книжная премия Беккенбаха Математической ассоциации Америки.

Темы

В книге комбинаторные доказательства из тринадцати теорем комбинаторики и 246 пронумерованных тождеств (собраны в приложении).[1] Также включены несколько дополнительных «неучтенных идентичностей».[2] Многие доказательства основаны на методе визуальных рассуждений, который авторы называют «мозаикой»,[1][3] и в предисловии авторы описывают свою работу как продолжение подсчета проблем Доказательство без слов книги Роджера Б. Нельсона.[3]

Первые три главы книги начинаются с целочисленные последовательности определяется линейным повторяющиеся отношения, прототипом которой является последовательность Числа Фибоначчи. Эти числа можно дать комбинаторную интерпретацию как количество способов замощения полоса квадратов с плитками двух типов, одиночные квадраты и домино; эту интерпретацию можно использовать для доказательства многих фундаментальных тождеств, связанных с числами Фибоначчи, и обобщить на аналогичные отношения для других последовательностей, определенных аналогичным образом,[4] такой как Числа Лукаса,[5] используя «круговые мозаики и цветные мозаики».[6] Например, для чисел Фибоначчи, учитывая, соединяет ли тайлинг позиции или нет и полосы длины сразу приводит к личности[5]

Главы с четвертой по седьмую книги посвящены личностям, связанным с непрерывные дроби, биномиальные коэффициенты, гармонические числа, Числа Стирлинга, и факториалы. Восьмая глава разветвляется от комбинаторики к теория чисел и абстрактная алгебра, а последняя глава возвращается к числам Фибоначчи с более подробным материалом об их идентичности.[4]

Аудитория и прием

Книга предназначена для студентов, изучающих математику, но материал в значительной степени самодостаточен и может быть прочитан учащимися старших классов.[4][6] Кроме того, многие главы книги являются самодостаточными, что позволяет произвольно читать или использовать отрывки из этого материала на занятиях.[2] Хотя он составлен как учебник с упражнениями в каждой главе,[4] Рецензент Роберт Бизер пишет, что он «не предназначен как учебник», а скорее предназначен как «ресурс» для учителей и исследователей.[2] Вторя этому, рецензент Джо Робертс пишет, что, несмотря на ее элементарный характер, эта книга должна быть «ценным справочником ... для всех, кто работает с такими идентичностями».[1]

В первоначальном обзоре Даррен Гласс жаловался, что многие результаты представлены в виде сухих формул, без какого-либо контекста или объяснения того, почему они должны быть интересными или полезными, и что отсутствие контекста будет препятствием для использования его в качестве основного текста. для класса.[4] Тем не менее, во втором обзоре после года владения книгой он написал, что «одалживает ее человеку за человеком».[7]Рецензент Питер Г. Андерсон хвалит книгу за «прекрасные способы увидеть старую, знакомую математику, а также некоторые новые математики», назвав ее «сокровищем».[5] Рецензент Джеральд Л. Александерсон описывает корректуру книги как «гениальную, конкретную и запоминающуюся».[3] Награда за книгу 2006 г. Книжная премия Беккенбаха утверждает, что она «волшебным образом иллюстрирует повсеместное распространение и мощь методов счета во всей математике. Это одна из тех редких книг, которые понравятся профессиональным математикам и соблазнят неофитов».[8]

На одну из открытых проблем книги - поиск биективного доказательства тождества, сочетающего биномиальные коэффициенты с числами Фибоначчи - впоследствии был дан положительный ответ: Дорон Зейлбергер. На веб-сайте, где он ссылается на препринт своей статьи, Зейлбергер пишет:

«Когда я был молод и красив, я не мог увидеть личность, не пытаясь доказать это биективно. Каким-то образом я избавился от этой зависимости. Но желание вспыхнуло снова, когда я прочитал шедевр Артура Бенджамина и Дженнифер Куинн. Доказательства, которые действительно важны."[9]

Признание

Доказательства, которые действительно важны выиграл 2006 Книжная премия Беккенбаха Математической ассоциации Америки,[8] и награда 2010 CHOICE за выдающееся академическое звание Американская библиотечная ассоциация.[10] Комитет по списку базовых библиотек Математической ассоциации Америки внес его в список обязательных для включения в любую библиотеку по математике для студентов.[4]

Рекомендации

  1. ^ а б c Робертс, Джо (2004), "Обзор Доказательства, которые действительно важны", Математические обзоры, Г-Н  1997773
  2. ^ а б c Бизер, Роберт А. (сентябрь 2004 г.), "Обзор Доказательства, которые действительно важны", SIAM Обзор, 46 (3): 562–563, JSTOR  20453541
  3. ^ а б c Александерсон, Г.Л., "Обзор Доказательства, которые действительно важны", zbMATH, Zbl  1044.11001
  4. ^ а б c d е ж Гласс, Даррен (октябрь 2003 г.), "Обзор Доказательства, которые действительно важны", Обзоры MAA, Математическая ассоциация Америки
  5. ^ а б c Андерсон, Питер Г. (ноябрь 2005 г.), "Обзор Доказательства, которые действительно важны" (PDF), Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 43 (4): 326–327
  6. ^ а б Рейберн, Нелл (май 2004 г.), "Обзор Доказательства, которые действительно важны", Учитель математики, 97 (5): 382, JSTOR  20871635 (неверно приписано Ларри Хону; см. JSTOR  27971634 для исправления авторства)
  7. ^ Гласс, Д. (ноябрь 2004 г.), "Обзор Доказательства, которые действительно важны", Американский статистик, 58 (4): 360, JSTOR  27643599
  8. ^ а б «Премия Беккенбаха», Призы и награды на совместных встречах по математике в Сан-Антонио, Математическая ассоциация Америки, 18 января 2006 г.
  9. ^ Зейлбергер, Дорон (2009), «Доказательство подсчета Фибоначчи, о котором просили Бенджамин и Куинн», Труды одиннадцатой Международной конференции по числам Фибоначчи и их приложениям, Congressus Numerantium, 194: 263–264, Г-Н  2463545
  10. ^ Доказательства, которые действительно важны: искусство комбинаторного доказательства, Американская библиотечная ассоциация, получено 2018-02-07

внешняя ссылка