Exsphere (многогранники) - Exsphere (polyhedra)

В геометрия, то exsphere грани правильного многогранника - это сфера за пределами многогранника, которая касается грани и плоскостей, определяемых продолжением смежных граней наружу. Он касается грани снаружи и касается смежных граней внутри.

Это 3-мерный эквивалент внеокружность.

В целом сфера хорошо определена для любой грани, которая является правильным многоугольником и ограничена гранями с одинаковыми двугранными углами на общих краях. Грани полуправильных многогранников часто имеют разные типы граней, которые определяют экзосферы разного размера для каждого типа граней.

Параметры

Эксфера касается грани правильного многогранника в центре вписанной окружности этой грани. Если обозначить радиус экзосферы $р бывший$ , радиус этой вписанной окружности $р в$ и двугранный угол между гранью и продолжением прилегающей грани $δ$ центр экзосферы расположен с точки обзора в середине одного края лица путем деления двугранного угла пополам. Следовательно

{ displaystyle tan { frac { delta} {2}} = { frac {r _ { mathrm {ex}}} {r _ { mathrm {in}}}}.}

$δ$ представляет собой 180-градусное дополнение внутреннего фронтального угла.

Тетраэдр

Применяется к геометрии Тетраэдр длины кромки $а$ , у нас есть радиус вписанной окружности $р в = а /(2 \sqrt 3)$ (получено путем двойного деления площади лица $(а 2 \sqrt 3)/4$ по периметру $3 а$ ) двугранный угол $δ = π - arccos (1/3)$ , и как следствие $р бывший = а / \sqrt 6$ .

Куб

Радиус внешних сфер 6 граней Куб совпадает с радиусом вписанной сферы, так как $δ$ и его дополнение такие же, 90 градусов.

Икосаэдр

Двугранный угол, применимый к Икосаэдр получается путем рассмотрения координат двух треугольников с общим ребром, при пример одно лицо с вершинами на

{ Displaystyle (0, -1, г), (г, 0,1), (0,1, г),}

другой в

{ displaystyle (1, -g, 0), (g, 0,1), (0, -1, g),}

куда $грамм$ это Золотое сечение. Вычитание координат вершин определяет векторы ребер,

{ Displaystyle (г, 1,1-г), (- г, 1, г-1)}

первого лица и

{ Displaystyle (г-1, г, 1), (- г, -1, г-1)}

другого. Перекрестные продукты ребер первой и второй грани дают (ненормированную) грань нормальные векторы

{ Displaystyle (2 г-2,0,2 г) sim (г-1,0, г)}

первого и

{ displaystyle (г ^ {2} -g + 1, -g- (g-1) ^ {2}, 1-g + g ^ {2}) = (2, -2,2) sim (1 , -1,1)}

второго лица, используя $грамм 2 = 1 + г$ . скалярное произведение между этими двумя нормалями к граням дает косинус двугранного угла,

{ displaystyle cos delta = { frac {(g-1) cdot 1 + g cdot 1} {{ sqrt {(g-1) ^ {2} + g ^ {2}}} { sqrt {3}}}} = { frac {2g-1} {3}} = { frac { surd 5} {3}} приблизительно 0,74535599.}

OEIS: A208899

{ displaystyle поэтому delta приблизительно 0,72973 , mathrm {rad} приблизительно 41,81 ^ { circ}}

{ displaystyle поэтому tan { frac { delta} {2}} = { frac { sin delta} {1+ cos delta}} = { frac {2} {3+ surd 5 }} приблизительно 0,3819660}

OEIS: A132338

Для икосаэдра с длиной ребра $а$ , радиус вписанной окружности треугольных граней равен $р в = а /(2 \sqrt 3)$ и, наконец, радиус 20 эксфер

{ displaystyle r _ { mathrm {ex}} = { frac {a} {(3 + { sqrt {5}}) { sqrt {3}}}} приблизительно 0,1102641a.}

Смотрите также

Insphere

внешняя ссылка

Гербер, Леон (1977). «Ассоциированные и косоортологические симплексы». Пер. Являюсь. Математика. Soc. 231 (1): 47–63. Дои:10.1090 / S0002-9947-1977-0445393-6. JSTOR 1997867. МИСТЕР 0445393.
Хаджа, Mowaffaq (2005). «Центры Жергонна и Нагеля n-мерного симплекса». Дж. Геом. 83 (1–2): 46–56. Дои:10.1007 / s00022-005-0011-3.