Законы движения Эйлера - Eulers laws of motion - Wikipedia

В классическая механика, Законы движения Эйлера находятся уравнения движения которые расширяют Законы движения Ньютона за точечная частица к жесткое тело движение.[1] Их сформулировали Леонард Эйлер примерно через 50 лет после Исаак Ньютон сформулировал свои законы.

Обзор

Первый закон Эйлера

Первый закон Эйлера заявляет, что линейный импульс тела, п (также обозначается грамм) равна произведению массы тела м и скорость его центр массы vсм:[1][2][3]

.

Внутренние силы между частицами, составляющими тело, не влияют на изменение общего количества движения тела, поскольку существует равная и противоположная сила, не приводящая к общему эффекту.[4] В законе также говорится:[4]

.

куда асм = dvсм/dt - ускорение центра масс и F = dп/dt это полная сила, приложенная к телу. Это просто производная по времени предыдущего уравнения (м постоянная).

Второй закон Эйлера

Второй закон Эйлера заявляет, что скорость изменения угловой момент L (иногда обозначается ЧАС) относительно точки, которая зафиксирована в инерциальной системе отсчета (часто центр масс тела), равна сумме внешних моментов силы (крутящие моменты ) действуя на это тело M (также обозначается τ или же Γ) по этому поводу:[1][2][3]

.

Обратите внимание, что приведенная выше формула верна, только если оба M и L вычисляются относительно фиксированной инерциальной системы отсчета или системы, параллельной инерциальной системе отсчета, но закрепленной в центре масс. Для твердых тел, перемещающихся и вращающихся только в двух измерениях, это можно выразить как:[5]

,

куда рсм - вектор положения центра масс относительно точки, относительно которой суммируются моменты, α это угловое ускорение тела вокруг его центра масс, и я это момент инерции тела вокруг его центра масс. Уравнения Эйлера (динамика твердого тела).

Объяснение и вывод

Распределение внутренних сил в деформируемом теле не обязательно одинаково по всему телу, т.е. напряжения меняются от одной точки к другой. Это изменение внутренних сил во всем теле регулируется Второй закон движения Ньютона сохранения линейный импульс и угловой момент, которые для простейшего использования применяются к массовой частице, но расширяются в механика сплошной среды к телу с непрерывно распределенной массой. Для сплошных тел эти законы называются Законы движения Эйлера. Если тело представить как совокупность дискретных частиц, каждая из которых подчиняется законам движения Ньютона, то уравнения Эйлера могут быть выведены из законов Ньютона. Однако уравнения Эйлера можно рассматривать как аксиомы, описывающие законы движения протяженных тел, независимо от распределения частиц.[6]

Полная телесная сила, приложенная к сплошному телу массой м, плотность вещества ρ, и объем V, это объемный интеграл интегрированы по объему тела:

куда б - сила, действующая на тело на единицу массы (размеры ускорения, ошибочно названного "телесной силой"), и дм = ρ dV бесконечно малый массовый элемент тела.

Телесные силы и контактные силы, действующие на тело, приводят к соответствующим моментам (крутящие моменты ) этих сил относительно данной точки. Таким образом, общий приложенный крутящий момент M о происхождении дается

куда MB и MC соответственно указывают моменты, вызванные телесными и контактными силами.

Таким образом, сумма всех приложенных сил и моментов (относительно начала системы координат), действующих на тело, может быть задана как сумма объема и поверхностный интеграл:

куда т = т(п) называется поверхностная тяга, интегрированные по поверхности тела, в свою очередь п обозначает единичный вектор нормальные и направленные наружу к поверхности S.

Пусть система координат (Икс1, Икс2, Икс3) быть инерциальная система отсчета, р - вектор положения точечной частицы в непрерывном теле относительно начала системы координат, и v = dр/dt вектор скорости этой точки.

Первая аксиома или закон Эйлера (закон баланса количества движения или баланса сил) утверждает, что в инерциальной системе отсчета скорость изменения количества движения во времени п произвольной части сплошного тела равна суммарной приложенной силе F действуя на эту часть, и это выражается как

Вторая аксиома или закон Эйлера (закон баланса углового момента или баланса моментов) утверждает, что в инерциальной системе отсчета скорость изменения углового момента L произвольного участка сплошного тела равен общему приложенному крутящему моменту M действуя на эту часть, и это выражается как

Где - скорость, объем, а производные от п и L находятся материальные производные.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Макгилл и Кинг (1995). Инженерная механика, Введение в динамику (3-е изд.). Издательская компания PWS. ISBN  0-534-93399-8.
  2. ^ а б «Законы движения Эйлера». Получено 2009-03-30.
  3. ^ а б Рао, Анил Витала (2006). Динамика частиц и твердых тел. Издательство Кембриджского университета. п. 355. ISBN  978-0-521-85811-3.
  4. ^ а б Gray, Gary L .; Костанцо, Плеша (2010). Инженерная механика: динамика. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-282871-9.
  5. ^ Руина, Энди; Рудра Пратап (2002). Введение в статику и динамику (PDF). Издательство Оксфордского университета. п. 771. Получено 2011-10-18.
  6. ^ Люблинер, Якоб (2008). Теория пластичности (PDF) (Пересмотренная ред.). Dover Publications. С. 27–28. ISBN  978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинал (PDF) 31 марта 2010 г.