Гипотеза Даффина – Шеффера - Duffin–Schaeffer conjecture

В Гипотеза Даффина – Шеффера - важное математическое предположение, в частности метрическая теория чисел предложено Р. Дж. Даффин и А. К. Шеффер в 1941 г.^[1] В нем говорится, что если ${ displaystyle f: mathbb {N} rightarrow mathbb {R} ^ {+}}$ - вещественная функция, принимающая положительные значения, то для почти все ${ displaystyle alpha}$ (относительно Мера Лебега ) неравенство

${ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} right | <{ frac {f (q)} {q}}}$

имеет бесконечно много решений в соправитель целые числа ${ displaystyle p, q}$ с ${ displaystyle q> 0}$ если и только если

${ displaystyle sum _ {q = 1} ^ { infty} f (q) { frac { varphi (q)} {q}} = infty,}$

куда ${ displaystyle varphi (q)}$ это Функция Эйлера.

Многомерный аналог этой гипотезы был разрешен Воганом и Поллингтоном в 1990 году.^[2][3][4]

Прогресс

Следствие существования рациональных приближений к расходимости ряда следует из Лемма Бореля – Кантелли..^[5] Обратное утверждение является сутью гипотезы.^[2]На сегодняшний день установлено много частичных результатов гипотезы Даффина – Шеффера. Пол Эрдёш в 1970 году было установлено, что гипотеза верна, если существует постоянная ${ displaystyle c> 0}$ так что для каждого целого числа ${ displaystyle n}$ у нас есть либо ${ Displaystyle е (п) = с / п}$ или же ${ displaystyle f (n) = 0}$.^[2][6] Это было усилено Джеффри Валером в 1978 г. ${ Displaystyle е (п) = О (п ^ {- 1})}$.^[7][8] Позже это было усилено до того, что гипотеза верна всякий раз, когда существует ${ displaystyle varepsilon> 0}$ так что сериал

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {f (n)} {n}} right) ^ {1+ varepsilon} varphi (n) = infty }$. Это сделали Хейнс, Поллингтон и Велани.^[9]

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что Мера Хаусдорфа аналог гипотезы Даффина – Шеффера эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори более слабая. Этот результат опубликован в Анналы математики.^[10]

В июле 2019 г. Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявил доказательство гипотезы.^[11][12][13]

Примечания

Рекомендации

• Харман, Глин (1998). Метрическая теория чисел. Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 18. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  978-0-19-850083-4. Zbl  1081.11057.
• Харман, Глин (2002). «Сто лет нормальных чисел». В Bennett, M. A .; Берндт, Б.; Бостон, Н.; Diamond, H.G .; Hildebrand, A.J .; Филипп, W. (ред.). Обзоры по теории чисел: доклады тысячелетней конференции по теории чисел. Натик, Массачусетс: А. К. Питерс. С. 57–74. ISBN  978-1-56881-162-8. Zbl  1062.11052.

внешняя ссылка

• Статья в журнале Quanta о гипотезе Даффина-Шеффера.