Двойной группоид - Double groupoid

В математика, особенно в многомерная алгебра и теория гомотопии, а двойной группоид обобщает понятие группоид и из категория в более высокое измерение.

Определение

А двойной группоид D многомерный группоид включая отношения как для "горизонтальных", так и для "вертикальных" группоидных структур.^[1] (Двойной группоид также можно рассматривать как обобщение некоторых многомерных групп.^[2]) Геометрия квадратов и их композиции приводит к общему представлению двойной группоид В следующих диаграмма:

куда M это набор "точек", ЧАС и V являются, соответственно, "горизонтальным" и "вертикальным" группоидами, и S представляет собой набор «квадратов» с двумя композициями. В законы состава для двойного группоида D сделать его также описываемым как группоид внутри категория группоидов.

Учитывая два группоида ЧАС и V над набором M, существует двойной группоид ${ displaystyle Box (H, V)}$ с H, V в виде горизонтальных и вертикальных группоидов ребер и квадратов, заданных четверками

${ displaystyle { begin {pmatrix} & h & [- 0.9ex] v && v ' [- 0.9ex] & h' & end {pmatrix}}}$

для которого всегда предполагается, что h, h ′ находятся в ЧАС и v, v ′ находятся в V, и что начальная и конечная точки этих ребер совпадают в M как следует из обозначений; это, например, sh = sv, th = sv ', ... и т. д. Композиции должны быть унаследованы от композиций H, V; то есть:

${ displaystyle { begin {pmatrix} & h & [- 0.9ex] v && v ' [- 0.9ex] & h' & end {pmatrix}} circ _ {1} { begin {pmatrix} & h '& [- 0.9ex] w && w ' [- 0.9ex] & h' '& end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} & h & [- 0.9ex] vw && v'w' [- 0.9 пример] & h '' & end {pmatrix}}}$

и

${ displaystyle { begin {pmatrix} & h & [- 0.9ex] v && v ' [- 0.9ex] & h' & end {pmatrix}} circ _ {2} { begin {pmatrix} & k & [-0.9ex] v '&& v' ' [- 0.9ex] & k' & end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} & hk & [- 0.9ex] v && v '' [- 0.9ex ] & h'k '& end {pmatrix}}}$

Эта конструкция является правым сопряжением к функтору забывания, который переводит двойной группоид, как указано выше, к паре группоидов H, V над M.

Другие связанные конструкции - это конструкция двойного группоида со связью^[3] и гомотопические двойные группоиды.^[4] Гомотопический двойной группоид пары точечных пространств является ключевым элементом доказательства двумерной теоремы Зейферта-ван Кампена, впервые доказанной Брауном и Хиггинсом в 1978 г.^[5] и в книге дана обширная трактовка.^[6]

Примеры

Легкий класс примеров можно составить, рассмотрев скрещенные модули, или, что то же самое, данные морфизма групп

${ displaystyle [G_ {1} xrightarrow { phi} G_ {0}]}$

который имеет эквивалентное описание как группоид, внутренний по отношению к категории групп

${ displaystyle s, t: G_ {0} times G_ {1} to G_ {0}}$

куда

${ displaystyle { begin {matrix} s (g_ {0}, g_ {1}) = g_ {0} & t (g_ {0}, g_ {1}) = phi (g_ {1}) g_ {0 } end {matrix}}}$

- структурные морфизмы этого группоида. Поскольку группы встраиваются в категорию группоидов, отправляющих группу ${ displaystyle G}$ в категорию ${ displaystyle { textbf {B}} G}$ с одним объектом и морфизмами, дающими группу ${ displaystyle G}$структура выше дает двойной группоид. Приведем явный пример: из расширение группы

${ displaystyle 1 to mathbb {Z} _ {4} to Q_ {8} to mathbb {Z} _ {2} to 1}$

и встраивание ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2} to mathbb {Z} _ {4}}$, существует ассоциированный двойной группоид из двухчленного комплекса групп

${ Displaystyle Q_ {8} to mathbb {Z} _ {4}}$

с ядром ${ displaystyle mathbb {Z} _ {4}}$ а коядро дается выражением ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$. Это дает связанный гомотопический тип ${ displaystyle X}$^[7] с

${ Displaystyle pi _ {1} (Х) = mathbb {Z} _ {2}}$ и ${ Displaystyle pi _ {2} (Х) = mathbb {Z} _ {4}}$

Его инвариант постникова можно определить по классу ${ Displaystyle Q_ {8} to mathbb {Z} _ {4}}$ в групповые когомологии группа ${ Displaystyle Н ^ {3} ( mathbb {Z} _ {2}, mathbb {Z} _ {4}) cong mathbb {Z} / 2}$. Поскольку это нетривиальный скрещенный модуль, его инвариант постникова равен ${ displaystyle 1}$, задающий гомотопический тип, не эквивалентный геометрическая реализация из симплициальная абелева группа.

Гомотопический двойной группоид

Обобщение до размерности 2 фундаментального группоида на множестве базисов было дано Брауном и Хиггинсом в 1978 г. следующим образом. Позволять ${ displaystyle (X, A, C)}$ - тройка пространств, т.е. ${ Displaystyle C substeq A substeq X}$. Определять ${ Displaystyle rho (X, A, C)}$ быть множеством гомотопических классов rel вершины отображений квадрата в Икс которые принимают края в А и вершины в C. Не совсем тривиально доказать, что естественные композиции таких квадратов в двух направлениях наследуются этими гомотопическими классами, давая двойной группоид, который также имеет дополнительную структуру так называемых связей, необходимых для обсуждения идеи коммутативного куба в пространстве. двойной группоид. Этот двойной группоид существенно используется для доказательства двумерной теоремы Зейферта-ван Кампена, которая дает новую информацию и вычисления для вторых относительных гомотопических групп как часть скрещенного модуля. Для получения дополнительной информации см. Часть I книга Авторы: Браун, Хиггинс, Сивера, перечисленные ниже.

Алгебра свертки

А свертка C * -алгебра двойного группоида также можно построить, используя квадратную диаграмму D двойного группоида.^[8]

Категория двойных группоидов

В категория объекты которого являются двойными группоидами, а морфизмы - двойными группоидами гомоморфизмы которые являются диаграммой двойных группоидов (D) функторы называется категория двойных группоидов, или категория двойных группоидов.

Смотрите также

• 2-группа
• Скрещенный модуль
• N-группа (теория категорий)
• ∞-группоид

Примечания

В этой статье использованы материалы из алгебра высших измерений на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

Рекомендации

• Браун, Рональд и Си Би Спенсер: "Двойные группоиды и скрещенные модули ", Cahiers Top. Геом. Diff.. 17 (1976), 343–362.
• Браун, Р., Харди, К., Кампс, Х. и Т. Портер: 2002, "Гомотопический двойной группоид хаусдорфового пространства", Теория и приложения категорий: 10,71–93
• Браун, Рональд, 1987 г. "От групп к группоидам: краткий обзор," Бык. Лондонская математика. Soc. 19: 113–34. Рассматривается история группоидов до 1987 г., начиная с работ Брандта о квадратичных формах. В загружаемой версии обновлено множество ссылок.
• Браун, Рональд, 2006 г. Топология и группоиды. Книжный цех. Пересмотренное и расширенное издание книги, ранее опубликованной в 1968 и 1988 годах. Группоиды вводятся в контексте их топологического применения.
• Браун, Рональд, Теория многомерных групп. Объясняет, как концепция группоидов привела к многомерным гомотопическим группоидам, имеющим приложения в теория гомотопии и в группе когомология.
• Ф. Борсё, Г. Джанелидзе, 2001 г., Теории Галуа. Cambridge Univ. Нажмите. Показывает, как обобщения Теория Галуа привести к Группоиды Галуа.
• Каннас да Силва, А., и А. Вайнштейн, Геометрические модели для некоммутативных алгебр. Особенно Часть VI.
• Голубицкий, М., Ян Стюарт, 2006, "Нелинейная динамика сетей: формализм группоидов ", Бык. Амер. Математика. Soc. 43: 305–64
• Хиггинс П. Дж. "Фундаментальный группоид граф групп ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145–149.
• Хиггинс, П. Дж. И Тейлор, Дж. "Фундаментальный группоид и гомотопически скрещенный комплекс орбитальное пространство ", в теории категорий (Гуммерсбах, 1981), Конспекты лекций по математике, том 962. Springer, Berlin (1982), 115–122.
• Хиггинс, П. Дж., 1971. Категории и группоиды. Заметки Ван Ностранда по математике. Переиздано в Перепечатки в теории и приложениях категорий, № 7 (2005), с. 1–195; свободно загружаемый. Существенное введение в теория категорий с особым упором на группоидов. Представляет приложения группоидов в теории групп, например, для обобщения Теорема Грушко, и в топологии, например фундаментальный группоид.
• http://planetphysics.org/encyclopedia/DoubleGroupoidWithConnection.html^{[постоянная мертвая ссылка ]} «Двойной Группоид со связью».
• Вайнштейн, Алан "Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии - экскурсия по некоторым примерам. "Также доступно в Постскриптум., Уведомления AMS, июль 1996 г., стр. 744–752.