Теорема Данжуа – Рисса - Denjoy–Riesz theorem

Полностью отключенный Юля набор. По теореме Данжуа – Рисса существует дуга, проходящая через все точки этого множества.

В топология, то Теорема Данжуа – Рисса утверждает, что каждый компакт полностью отключен точки на евклидовой плоскости можно покрыть непрерывным изображением единичный интервал, без самопересечений (a Иорданская дуга ).

Определения и заявление

Топологическое пространство - это нульмерный согласно Размер покрытия Лебега если каждый конечный открытая крышка имеет уточнение, которое также является открытым покрытием непересекающимися множествами. Топологическое пространство - это полностью отключен если в нем нет нетривиальных связных подмножеств; для точек на плоскости полное отключение эквивалентно нульмерности. Теорема Данжуа – Рисса утверждает, что каждое компактное вполне несвязное подмножество плоскости является подмножеством жордановой дуги.[1]

История

Куратовский (1968) приписывает результат публикациям автора Фриджес Рис в 1906 г. и Арно Данжуа в 1910 г. как в Comptes rendus de l'Académie des Sciences.[2] В качестве Мур и Клайн (1919) описывать,[3] На самом деле Рисс привел неверный аргумент, что каждое полностью несвязное множество на плоскости является подмножеством жордановой дуги. Это обобщило предыдущий результат Л. Зоретти, который использовал более общий класс множеств, чем дуги Жордана, но Зоретти нашел недостаток в доказательстве Рисса: в нем ошибочно предполагалось, что одномерные проекции полностью несвязных множеств остаются полностью несвязными. Затем Данжуа (не цитируя ни Зоретти, ни Рисса) потребовал доказательства теоремы Рисса с небольшими подробностями. Мур и Клайн формулируют и доказывают обобщение, которое полностью характеризует подмножества плоскости, которые могут быть подмножествами жордановых дуг, и которое включает теорему Данжуа – Рисса как частный случай.

Приложения и связанные результаты

Применяя эту теорему к двумерной версии Множество Смита – Вольтерры – Кантора, можно найти Кривая Осгуда, жорданова дуга или замкнутая жорданова кривая, Мера Лебега положительный.[4]

Связанный результат - Теорема коммивояжера аналитика, описывающих точечные множества, образующие подмножества кривых конечных длина дуги. Не каждое компактное полностью несвязное множество обладает этим свойством, потому что некоторые компактные полностью несвязные множества требуют, чтобы любая дуга, покрывающая их, имела бесконечную длину.

Рекомендации

  1. ^ Крупка, Деметра (2015), Введение в глобальную вариационную геометрию, Исследования Атлантиды по вариационной геометрии, 1, Atlantis Press, Париж, стр. 158, Дои:10.2991/978-94-6239-073-7, ISBN  978-94-6239-072-0, МИСТЕР  3290001.
  2. ^ Куратовский, К. (1968), Топология. Vol. II, Новое издание, переработанное и дополненное. Перевод с французского А. Киркор, Польское научное издательство Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Варшава, с. 539, г. МИСТЕР  0259835.
  3. ^ Мур, Р. Л.; Клайн, Дж. Р. (1919), «На наиболее общем плоском замкнутом множестве точек, через которое можно пройти простую непрерывную дугу», Анналы математики, Вторая серия, 20 (3): 218–223, Дои:10.2307/1967872, МИСТЕР  1502556.
  4. ^ Balcerzak, M .; Харазишвили А. (1999), "О несчетных объединениях и пересечениях измеримых множеств", Грузинский математический журнал, 6 (3): 201–212, Дои:10.1023 / А: 1022102312024, МИСТЕР  1679442. Более раннее построение жордановой кривой положительной площади без использования этой теоремы см. Осгуд, Уильям Ф. (1903), "Жорданова кривая положительной площади", Труды Американского математического общества, 4 (1): 107–112, Дои:10.2307/1986455, JSTOR  1986455.