Подпространства без декогеренции - Decoherence-free subspaces

А подпространство без декогеренции (DFS) это подпространство из квантовая система с Гильбертово пространство то есть инвариантный не-унитарный динамика. Иначе говоря, они представляют собой небольшой участок гильбертова пространства системы, в котором система развязанный из окружающей среды и, следовательно, его эволюция полностью унитарна. ДФС также можно охарактеризовать как особый класс коды с квантовой коррекцией ошибок. В этом представлении они пассивный коды предотвращения ошибок, поскольку эти подпространства кодируются информацией, которая (возможно) не потребует никаких активный методы стабилизации. Эти подпространства предотвращают деструктивные взаимодействия с окружающей средой, изолируя квантовая информация. Таким образом, они являются важной темой в квантовые вычисления, куда (последовательный ) желаемой целью является управление квантовыми системами. Декогеренция создает проблемы в этом отношении, вызывая потерю согласованности между квантовые состояния системы и, следовательно, распад их вмешательство условия, что приводит к потере информации из (открытой) квантовой системы в окружающую среду. Поскольку квантовые компьютеры нельзя изолировать от окружающей среды (т.е. у нас не может быть по-настоящему изолированной квантовой системы в реальном мире) и информация может быть потеряна, изучение DFS важно для внедрения квантовых компьютеров в реальный мир.

Фон

Происхождение

Изучение DFS началось с поиска структурированных методов, позволяющих избежать декогеренции в теме квантовая обработка информации (QIP). Эти методы включают попытки идентифицировать определенные состояния, которые потенциально могут не измениться в результате определенных процессов декогерентизации (то есть определенных взаимодействий с окружающей средой). Эти исследования начались с наблюдений Г. Пальма, К. А. Суоминен и А.К. Экерт, которые изучили последствия чистой дефазировки на двух кубиты которые так же взаимодействуют с окружающей средой. Они обнаружили, что два таких кубита не декогерируются.^[1] Первоначально термин «субдекогеренция» использовался Пальмой для описания этой ситуации. Обращает на себя внимание также самостоятельная работа автора Мартин Пленио, Влатко Ведрал и Питер Найт который построил код с исправлением ошибок с кодовыми словами, которые инвариантны относительно определенной единичной временной эволюции спонтанного излучения.^[2]

Дальнейшее развитие

Вскоре после этого Л. М. Дуан и Г. К. Го также изучили это явление и пришли к тем же выводам, что и Пальма, Суоминен и Экерт. Однако Дуань и Го применили свою собственную терминологию, используя «состояния, сохраняющие когерентность», для описания состояний, которые не декогерентируются с дефазированием. Дуань и Го продвинули идею объединения двух кубитов для сохранения когерентности от дефазирования, как для коллективной дефазировки, так и для рассеяния, показывая, что в такой ситуации предотвращается декогеренция. Это было показано, если предположить, что система-среда сила сцепления. Однако такие модели были ограничены, поскольку они касались исключительно процессов декогеренции дефазировки и диссипации. Чтобы иметь дело с другими типами декогеренции, предыдущие модели, представленные Пальмой, Суоминеном и Экертом, а также Дуаном и Го, были преобразованы в более общую обстановку П. Занарди и М. Разетти. Они расширили существующую математическую структуру, включив в нее более общие взаимодействия системы и среды, такие как коллективная декогеренция - один и тот же процесс декогеренции, действующий на все состояния квантовой системы и общие Гамильтонианы. Их анализ дал первые формальные и общие обстоятельства существования состояний без декогеренции (DF), которые не основывались на знании силы связи между системой и средой. Занарди и Разетти назвали эти состояния пеленгации «кодами предотвращения ошибок». Впоследствии Даниэль А. Лидар предложил название «подпространство без декогеренции» для пространства, в котором существуют эти состояния DF. Лидар изучил силу DF-состояний против возмущения и обнаружил, что когерентность, преобладающая в DF-состояниях, может быть нарушена эволюцией гамильтониана системы. Это наблюдение выявило еще одну предпосылку для возможного использования DF-состояний для квантовых вычислений. Совершенно общее требование существования DF-состояний было получено Лидаром, Д. Бэкон и К. Уэйли выражается в терминах Представление суммы оператора Крауса (OSR). Позже А. Шабани и Лидар обобщили структуру DFS, ослабив требование, что начальное состояние должно быть DF-состоянием, и изменили некоторые известные условия для DFS.^[3]

Недавнее исследование

Дальнейшее развитие было сделано в обобщении картины DFS, когда Э. Нилл, Р. Лафламм, и Л. Виола ввел понятие «бесшумная подсистема».^[1] Knill расширен до многомерного неприводимые представления из алгебра генерируя динамическую симметрию во взаимодействии системы и среды. Более ранняя работа над DFS описывала состояния DF как майки, которые являются одномерными неприводимыми представлениями. Эта работа оказалась успешной, в результате этого анализа количество кубитов, необходимых для построения DFS в условиях коллективной декогеренции, уменьшилось с четырех до трех.^[1] Обобщение от подпространств к подсистемам сформировало основу для объединения наиболее известных стратегий предотвращения декогеренции и обнуления.

Условия существования подпространств без декогеренции

Гамильтонова формулировка

Рассмотрим N-мерная квантовая система S в сочетании с ванной B и описывается комбинированным гамильтонианом системы и ванны следующим образом:

{displaystyle {hat {H}} = {hat {H}} _ {S} otimes {hat {I}} _ {B} + {hat {I}} _ {S} otimes {hat {H}} _ { B} + {шляпа {H}} _ {I}}

,

где гамильтониан взаимодействия ${displaystyle {hat {H}} _ {I}}$ дается обычным образом как

{displaystyle {hat {H}} _ {I} = sum _ {i} {hat {S}} _ {i} otimes {hat {B}} _ {i},}

и где ${displaystyle {hat {S}} _ {i} {ig (} {hat {B}} _ {i} {ig)}}$ воздействовать только на систему (ванну), и ${displaystyle {hat {H}} _ {S} {ig (} {hat {H}} _ {B} {ig)}}$ - гамильтониан системы (ванны), ${displaystyle {hat {I}} _ {S} {ig (} {hat {I}} _ {B} {ig)}}$ - тождественный оператор, действующий на систему (термостат), при которых динамическая эволюция внутри ${displaystyle {ilde {mathcal {H}}} _ {S} subset {mathcal {H}} _ {S}}$ , куда ${displaystyle {mathcal {H}} _ {S}}$ гильбертово пространство системы, полностью унитарно ${displaystyle forall | phi angle}$ (все возможные состояния ванны) тогда и только тогда, когда:

(я) ${displaystyle {hat {S}} _ {i} | phi angle = s_ {i} | phi angle, s_ {i} in mathbb {C}}$ для всех ${displaystyle | phi angle}$ который охватывать ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ и ${displaystyle forall {hat {S}} _ {i} in {mathcal {O}} _ {SB} ({mathcal {H}} _ {SB})}$ , пространство ограниченных операторов систем-ванн на ${displaystyle {mathcal {H}} _ {SB}}$ ,

(ii) система и ванна сначала не соединены (т.е. они могут быть представлены как состояние продукта),

(iii) нет «утечки» состояний за пределы ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ ; то есть гамильтониан системы ${displaystyle {hat {H}} _ {S}}$ не отображает состояния ${displaystyle | phi angle}$ снаружи ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ .

Другими словами, если система начинается в ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ (т.е. система и ванна изначально развязаны) и гамильтониан системы ${displaystyle {hat {H}} _ {S}}$ листья ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S} = span {ig [} {ig {} | phi _ {k} angle {ig}} _ {k = 1} ^ {N} {ig]} }$ инвариантно, то ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ является DFS тогда и только тогда, когда он удовлетворяет (i).

Эти состояния выродиться собственные сети из ${displaystyle {hat {S}} _ {i} in {mathcal {O}} _ {SB} ({mathcal {H}} _ {SB})}$ и, таким образом, различимы, следовательно, информация сохраняется в определенных процессах декогерентизации. Любое подпространство гильбертова пространства системы, удовлетворяющее указанным выше условиям, является подпространством без декогеренции. Однако информация все еще может «просачиваться» из этого подпространства, если условие (iii) не выполняется. Следовательно, даже если DFS существует при гамильтоновых условиях, все еще существуют неунитарные действия, которые могут воздействовать на эти подпространства и переводить состояния из них в другое подпространство, которое может быть или не быть DFS, системного гильбертова пространства.

Формулировка представления операторной суммы

Позволять ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S} subset {mathcal {H}} _ {S}}$ - N-мерная ДФС, где ${displaystyle {mathcal {H}} _ {S}}$ является гильбертовым пространством системы (только квантовой системы). В Операторы Крауса при записи в терминах базиса N утверждает, что охватывать ${displaystyle {mathcal {H}} _ {S}}$ представлены как:^{[требуется разъяснение ]}

{displaystyle mathbf {A} _ {l} = {egin {pmatrix} g_ {l} mathbf {ilde {U}} & mathbf {0} mathbf {0} & mathbf {ar {A}} _ {l} end {pmatrix) }}, quad g_ {l} = {sqrt {a_ {j}}} langle k | mathbf {U} _ {C} | jangle}

куда ${displaystyle mathbf {U} _ {C} = {mathit {exp}} {ig (} {frac {-imathbf {H} _ {C} t} {hbar}} {ig)}}$ ( ${displaystyle mathbf {H} _ {C}}$ - комбинированный гамильтониан системы-ванны), ${displaystyle mathbf {ilde {U}}}$ действует на ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S} subset {mathcal {H}} _ {S}}$ , и ${displaystyle mathbf {ar {A}} _ {l}}$ - произвольная матрица, действующая на ${displaystyle {mathcal {{ilde {H}} ^ {ot}}} _ {S}}$ (в ортогональное дополнение к ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ ). С ${displaystyle mathbf {ar {A}} _ {l}}$ действует на ${displaystyle {mathcal {{ilde {H}} ^ {ot}}} _ {S}}$ , то это не создаст декогеренции в ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ ; однако он может (возможно) создавать эффекты декогерентизации в ${displaystyle {mathcal {{ilde {H}} ^ {ot}}} _ {S}}$ . Рассмотрим базовые кеты ${displaystyle {ig {} | jangle {ig}} _ {j = 1} ^ {N}}$ которые охватывают ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ и, кроме того, они выполняют:

{displaystyle mathbf {ar {A}} _ {l} | jangle = g_ {l} mathbf {ilde {U}} | jangle, quad forall {l}.}

${displaystyle mathbf {ilde {U}}}$ произвольный унитарный оператор и может зависеть или не зависеть от времени, но не зависит от переменной индексации ${displaystyle mathbf {mathit {l}}}$ . В ${displaystyle mathbf {mathit {g}} _ {l}}$ есть сложный константы. С ${displaystyle {ig {} | jangle {ig}} _ {j = 1} ^ {N}}$ пролеты ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ , то любой чистое состояние ${displaystyle | psi угол в {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ можно записать как линейная комбинация из этих базовых кетов:

{displaystyle | psi angle = sum _ {j = 1} ^ {N} b_ {j} | jangle, quad b_ {j} in mathbb {C}.}

Это состояние будет без декогеренции; это можно увидеть, рассматривая действие ${displaystyle mathbf {ar {A}} _ {l}}$ на ${displaystyle | psi angle}$ :

{displaystyle {egin {align} mathbf {ar {A}} _ {l} | psi angle & = sum _ {j = 1} ^ {N} b_ {j} (mathbf {ar {A}} _ {l}) | jangle) & = sum _ {j = 1} ^ {N} b_ {j} (g_ {l} mathbf {ilde {U}} | jangle) mathbf {ar {A}} _ {l} | psi angle & = g_ {l} mathbf {ilde {U}} | psi angle .end {выравнивается}}}

Поэтому с точки зрения оператор плотности представление ${displaystyle | psi angle}$ , ${displaystyle ho _ {initial} = | psi angle langle psi |}$ , эволюция этого состояния:

{displaystyle {egin {align} ho _ {final} & = sum _ {l} mathbf {A} _ {l} ho _ {initial} mathbf {A} _ {l} ^ {dagger} & = sum _ { l} g_ {l} mathbf {ilde {U}} | psi angle langle psi | h_ {l} mathbf {ilde {U}} ^ {dagger} & = mathbf {ilde {U}} | psi angle langle psi | mathbf {ilde {U}} ^ {dagger} .end {выровнено}}}

Вышеприведенное выражение говорит, что ${displaystyle mathbf {mathit {ho}} _ {final}}$ является чистым состоянием и его эволюция унитарна, поскольку ${displaystyle mathbf {ilde {U}}}$ унитарен. Следовательно, любой состояние в ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ не будет декогерировать, поскольку его эволюция управляется унитарным оператором, и поэтому его динамическое развитие будет полностью унитарным. Таким образом ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ является подпространством без декогеренции. Приведенные выше рассуждения можно обобщить на начальное произвольное смешанное состояние также.^[1]

Полугрупповая формулировка

Эта формулировка использует полугрупповой подход. В Термин декогеринга Линдблада определяет, когда динамика квантовой системы будет унитарной; в частности, когда ${displaystyle mathbf {mathit {L}} _ {D} [ho] = 0}$ , куда ${displaystyle mathbf {mathit {ho}}}$ - оператор плотности, представляющий состояние системы, динамика будет бездекогерентной. ${displaystyle {ig {} | jangle {ig}} _ {j = 1} ^ {N}}$ охватывать ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S} subset {mathcal {H}} _ {S}}$ , куда ${displaystyle {mathcal {H}} _ {S}}$ гильбертово пространство системы. При предположении, что:

(i) параметры шума матрицы коэффициентов члена декогерентизации Линдблада не настроены точно (т.е. относительно них не делается никаких специальных предположений)
(ii) отсутствует зависимость от начальных условий начального состояния системы

необходимое и достаточное условие для ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ быть DFS - это ${displaystyle forall {| jangle}}$ :

{displaystyle mathbf {F} _ {alpha} | jangle = lambda _ {alpha} | jangle, quad forall alpha.}

Вышеприведенное выражение утверждает, что все базовые состояния ${displaystyle | jangle}$ являются вырожденными собственными состояниями генераторы ошибок ${displaystyle {ig {} mathbf {F} _ {alpha} {ig}} _ {alpha = 1} ^ {M = N imes {N}}.}$ Таким образом, их соответствующие условия согласованности не декогерируйте. Таким образом, государства в ${displaystyle {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ останутся взаимно различимыми после процесса декогерентизации, поскольку их соответствующие собственные значения являются вырожденными и, следовательно, идентифицируемыми после действия генераторов ошибок.

DFS как особый класс структур, сохраняющих информацию (IPS) и квантовых кодов исправления ошибок (QECC)

Информационно-сохраняющие структуры (ИПС)

DFS можно рассматривать как «кодирующую» информацию через ее набор состояний. Чтобы увидеть это, рассмотрим d-мерная открытая квантовая система, приготовленная в состоянии ${displaystyle mathbf {ho}}$ - неотрицательный (т.е. его собственные значения положительны), нормированный на след ${displaystyle {ig (} mathbf {mathit {Tr}} [ho] = 1 {ig)}}$ , ${displaystyle d imes d}$ оператор плотности, принадлежащий Гильберта-Шмидта пространство, пространство ограниченные операторы на ${displaystyle {mathcal {H}}}$ ${displaystyle {ig (} {mathcal {B ({mathcal {H}})}} {ig)}}$ . Предположим, что этот оператор плотности (состояние) выбирается из набора состояний ${displaystyle S = {ig {} ho _ {i} {ig}} _ {i = 1} ^ {n} in {mathcal {ilde {H}}} _ {S}}$ , ДФС ${displaystyle {mathcal {H}} _ {S}}$ (гильбертово пространство системы) и где ${displaystyle mathbf {mathit {n}}$ Этот набор состояний называется код, потому что состояния в этом наборе кодировать особый вид информации;^[4] то есть набор S кодирует информацию через свои состояния. Эта информация, содержащаяся в ${displaystyle mathbf {mathit {S}}}$ должен быть доступен; поскольку информация закодирована в состояниях в ${displaystyle mathbf {mathit {S}}}$ эти состояния должны быть различимы для некоторого процесса, ${displaystyle mathbf {zeta}}$ говорят, что пытается получить информацию. Следовательно, для двух состояний ${displaystyle mathbf {ho} _ {i}, mathbf {ho} _ {j} в {mathit {S}} {ig (} ieq j {ig)}}$ , процесс ${displaystyle mathbf {zeta}}$ является сохранение информации для этих состояний, если состояния ${displaystyle mathbf {ho} _ {i}, mathbf {ho} _ {j}}$ оставаться в качестве различимы после процесса, как были до него. В более общем виде код ${displaystyle mathbf {mathit {S}}}$ (или DFS) сохраняется процессом ${displaystyle mathbf {zeta}}$ если и только если каждая пара состояний ${displaystyle mathbf {ho} _ {i}, mathbf {ho} _ {j} в {mathit {S}}}$ так же различимы после ${displaystyle mathbf {zeta}}$ наносится так, как было до его нанесения.^[4] Более практичное описание было бы таким: ${displaystyle mathbf {mathit {S}}}$ сохраняется процессом ${displaystyle mathbf {zeta}}$ если и только если ${displaystyle forall mathbf {ho, ho '} в {mathit {S}}}$ и ${displaystyle {mathit {x}} в mathbb {R} ^ {+}}$

{displaystyle {ig |} mathbf {zeta} {ig (} mathbf {ho} - {mathit {x}} mathbf {ho '} {ig)} {ig |} _ {1} = {ig |} mathbf {ho } - {mathit {x}} mathbf {ho '} {ig |} _ {1}.}

Это просто говорит, что ${displaystyle mathbf {zeta}}$ карта 1: 1 с сохранением расстояния трассировки на ${displaystyle mathbf {mathit {S}}}$ .^[4] На этом рисунке DFS - это наборы состояний (скорее, коды), чьи взаимная различимость не зависит от процесса ${displaystyle mathbf {zeta}}$ .

Квантовые коды исправления ошибок (QECC)

Поскольку DFS могут кодировать информацию через свои наборы состояний, они защищены от ошибок (процессы декодирования). Таким образом, DFS можно рассматривать как особый класс QECC, в котором информация кодируется в состояниях, которые могут быть нарушены взаимодействием с окружающей средой, но извлечены некоторым обратным процессом.^[1]

Рассмотрим код ${displaystyle C = operatorname {span} {ig [} {ig {} | j_ {k} angle {ig}} {ig]}}$ , которое является подпространством системного гильбертова пространства, с закодированной информацией, заданной ${displaystyle {ig {} | j_ {k} angle {ig}}}$ (т.е. "кодовые слова"). Этот код может быть реализован для защиты от декогеренции и, таким образом, предотвращения потери информации в небольшом участке гильбертова пространства системы. Ошибки вызваны взаимодействием системы с окружающей средой (ванной) и представлены операторами Крауса.^[1] После взаимодействия системы с ванной информация, содержащаяся в ${displaystyle mathbf {mathit {C}}}$ должно быть «декодировано»; поэтому, чтобы получить эту информацию оператор восстановления ${displaystyle mathbf {R}}$ вводится. Итак, QECC - это подпространство ${displaystyle mathbf {mathit {C}}}$ вместе с набором операторов восстановления ${displaystyle {ig {} mathbf {R} _ {r} {ig}}.}$

Позволять ${displaystyle mathbf {mathit {C}}}$ быть QECC для операторов ошибок, представленных операторами Крауса ${displaystyle {ig {} mathbf {A} _ {l} {ig}}}$ , с операторами восстановления ${displaystyle {ig {} mathbf {R} _ {r} {ig}}.}$ потом ${displaystyle mathbf {mathit {C}}}$ является DFS тогда и только тогда, когда при ограничении ${displaystyle mathbf {mathit {C}}}$ , тогда ${displaystyle mathbf {R} _ {r} propto mathbf {ilde {U}} _ {S} ^ {dagger}, forall {r}}$ ,^[1] куда ${displaystyle mathbf {ilde {U}} _ {S} ^ {dagger}}$ является обратным оператору эволюции системы.

В этой картине обращения квантовых операций DFS являются частным случаем более общих QECC, после чего при ограничении заданным кодом операторы восстановления становятся пропорциональными обратному оператору эволюции системы, что позволяет унитарную эволюцию системы.

Обратите внимание, что тонкая разница между этими двумя формулировками существует в двух словах сохранение и исправление; в первом случае ошибка-профилактика используется метод, тогда как в последнем случае это ошибка -исправление. Таким образом, две формулировки отличаются тем, что одна из них пассивный метод, а другой - активный метод.

Пример подпространства без декогеренции

Коллективная дефазировка

Рассмотрим двухкубитное гильбертово пространство, натянутое на базисные кубиты ${displaystyle {ig {} | 0angle _ {1} otimes | 0angle _ {2}, | 0angle _ {1} otimes | 1angle _ {2}, | 1angle _ {1} otimes | 0angle _ {2}, | 1angle _ {1} otimes | 1angle _ {2} {ig}}}$ которые проходят коллективная дефазировка. Случайная фаза ${displaystyle mathbf {mathit {phi}}}$ будут созданы между этими базовыми кубитами; следовательно, кубиты преобразуются следующим образом:

{displaystyle {egin {align} | 0angle _ {1} otimes | 0angle _ {2} & longrightarrow | 0angle _ {1} otimes | 0angle _ {2} | 0angle _ {1} otimes | 1angle _ {2} & longrightarrow e ^ {iphi} | 0angle _ {1} otimes | 1angle _ {2} | 1angle _ {1} otimes | 0angle _ {2} & longrightarrow e ^ {iphi} | 1angle _ {1} otimes | 0angle _ {2} | 1angle _ {1} otimes | 1angle _ {2} & longrightarrow e ^ {2iphi} | 1angle _ {1} otimes | 1angle _ {2} .end {выровнено}}}

При этом преобразовании базисные состояния ${displaystyle | 0angle _ {1} otimes | 1angle _ {2}, | 1angle _ {1} otimes | 0angle _ {2}}$ получить тот же фазовый коэффициент ${displaystyle mathbf {mathit {e}} ^ {iphi}}$ . Таким образом, с учетом этого, состояние ${displaystyle | psi angle}$ могут быть закодированы с помощью этой информации (т. е. фазового фактора) и, таким образом, развиваться единично в рамках этого процесса дефазировки, определяя следующие закодированные кубиты:

{displaystyle {egin {align} | 0_ {E} angle & = | 0angle _ {1} otimes | 1angle _ {2} | 1_ {E} angle & = | 1angle _ {1} otimes | 0angle _ {2} конец {выровнен}}}

.

Поскольку это базовые кубиты, то любое состояние можно записать как линейную комбинацию этих состояний; следовательно,

{displaystyle | psi _ {E} angle = l | 0_ {E} angle + m | 1_ {E} angle, quad l, min mathbb {C}.}

Это состояние будет развиваться в процессе дефазировки как:

{displaystyle | psi _ {E} angle longrightarrow l | 0angle _ {1} otimes e ^ {iphi} | 1angle _ {2} + e ^ {iphi} m | 1angle _ {1} otimes | 0angle _ {2} = e ^ {iphi} | psi _ {E} угол.}

Тем не менее общий Фаза для квантового состояния ненаблюдаема и, как таковая, не имеет отношения к описанию состояния. Следовательно, ${displaystyle | psi _ {E} angle}$ остается инвариантным при этом процессе дефазировки и, следовательно, базисный набор ${displaystyle {ig {} | 0angle _ {1} otimes | 1angle _ {2}, | 1angle _ {1} otimes | 0angle _ {2} {ig}}}$ это подпространство без декогеренции 4-мерного гильбертова пространства. Аналогично подпространства ${displaystyle {ig {} | 0angle _ {1} otimes | 0angle _ {2} {ig}}, {ig {} | 1angle _ {1} otimes | 1angle _ {2} {ig}}}$ также являются DFS.

Альтернатива: подсистемы без декогеренции

Рассмотрим квантовую систему с N-мерной системой Гильбертово пространство ${displaystyle {mathcal {H}} _ {C}}$ который имеет общую подсистему декомпозиции ${displaystyle {mathcal {H}} _ {C} = oplus _ {j = 1} ^ {N} (иногда _ {i = 1} ^ {l_ {N}} {mathcal {H}} _ {ji}) .}$ Подсистема ${displaystyle {mathcal {H}} _ {ji}}$ это подсистема без декогеренции относительно связи системы и среды, если каждое чистое состояние в ${displaystyle {mathcal {H}} _ {ji}}$ остается неизменным в отношении этой подсистемы в ходе эволюции ЛАРН. Это верно для любого возможного начального состояния окружающей среды.^[5] Чтобы понять разницу между без декогеренции подпространство и без декогеренции подсистемарассмотрите возможность кодирования одного кубита информации в систему из двух кубитов. Эта двухкубитовая система имеет 4-мерное гильбертово пространство; один из методов кодирования одного кубита в это пространство - это кодирование информации в подпространство, которое охватывает два ортогональный кубиты 4-мерного гильбертова пространства. Предположим, информация закодирована в ортогональном состоянии. ${displaystyle alpha | 0angle + eta | 1angle}$ следующим образом:

{displaystyle alpha | 0angle _ {1} + eta | 1angle _ {2} longrightarrow alpha | 0angle _ {1} otimes | 1angle _ {2} + eta | 1angle _ {1} otimes | 0angle _ {2}.}

Это показывает, что информация была закодирована в подпространство двухкубитного гильбертова пространства. Другой способ кодирования той же информации - закодировать Только один из кубитов двух кубитов. Предположим, что первый кубит закодирован, тогда состояние второго кубита совершенно произвольно, поскольку:

{displaystyle alpha | 0angle _ {1} + eta | 1angle _ {2} longrightarrow {ig (} alpha | 0angle _ {1} + eta | 1angle _ {2} {ig)} otimes | psi angle.}

Это отображение является один ко многим отображение информации о кодировке одного кубита в гильбертово пространство с двумя кубитами.^[5] Вместо этого, если отображение должно быть ${displaystyle | psi angle}$ , то оно идентично отображению кубита в подпространство двухкубитного гильбертова пространства.