Полная категория - Complete category - Wikipedia

В математика, а полная категория это категория в котором все маленькие пределы существовать. То есть категория C будет полным, если каждый диаграмма F : JC (куда J является маленький ) имеет предел в C. Вдвойне, а неполная категория тот, в котором все маленькие копределы существовать. А двухполная категория является категорией, которая одновременно является полной и кокомполненной.

Существование все пределы (даже когда J это правильный класс ) слишком сильна, чтобы иметь практическое значение. Любая категория с этим свойством обязательно является тонкая категория: для любых двух объектов может быть не более одного морфизма от одного объекта к другому.

Более слабая форма полноты - это форма конечной полноты. Категория есть конечно полный если существуют все конечные пределы (т.е. пределы диаграмм, индексированные конечной категорией J). Соответственно, категория конечно кополный если все конечные копределы существуют.

Теоремы

Это следует из теорема существования пределов что категория полная если и только если она имеет эквалайзеры (всех пар морфизмов) и всех (малых) товары. Поскольку эквалайзеры могут быть построены из откаты и бинарные продукты (рассмотрим откат (ж, грамм) по диагонали Δ) категория является полной тогда и только тогда, когда в ней есть откаты и произведения.

Двойственно категория является комполной тогда и только тогда, когда она имеет соэквалайзеры и все (маленькие) побочные продукты, или, что то же самое, выталкивания и побочные продукты.

Конечную полноту можно охарактеризовать несколькими способами. Для категории C, все следующие эквиваленты:

  • C конечно полное,
  • C есть эквалайзеры и все конечные продукты,
  • C есть эквалайзеры, бинарные продукты и конечный объект,
  • C имеет откаты и конечный объект.

Двойственные утверждения также эквивалентны.

А малая категория C является полным тогда и только тогда, когда оно совпадает.[1] Небольшая полная категория обязательно будет тонкой.

А позетальная категория vacuously имеет все эквалайзеры и коэквалайзеры, поэтому он (конечно) полон тогда и только тогда, когда он имеет все (конечные) произведения, и двойственно для кополноты. Без ограничения конечности посетальная категория со всеми произведениями автоматически является кополной и двойственно по теореме о полных решетках.

Примеры и непримеры

Рекомендации

  1. ^ Абстрактные и конкретные категории, Иржи Адамек, Хорст Херрлих и Джордж Э. Стрекер, теорема 12.7, стр. 213
  2. ^ Риль, Эмили (2014). Категориальная теория гомотопий. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 32. ISBN  9781139960083. OCLC  881162803.

дальнейшее чтение