График функции Клаузена Cl2 (θ )
В математика , то Функция Clausen , представлен Томас Клаузен (1832 ), является трансцендентной специальной функцией одной переменной. Его можно по-разному выразить в виде определенный интеграл , а тригонометрический ряд , и различные другие специальные функции. Это тесно связано с полилогарифм , обратный касательный интеграл , полигамма функция , Дзета-функция Римана , Эта функция Дирихле , и Бета-функция Дирихле .
В Функция Clausen порядка 2 - часто называют то Функция Clausen, несмотря на то, что она одна из многих, задается интегралом:
Cl 2 ( φ ) = − ∫ 0 φ бревно | 2 грех Икс 2 | d Икс : { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( varphi) = - int _ {0} ^ { varphi} log left | 2 sin { frac {x} {2}} right | , dx:} В диапазоне 0 < φ < 2 π { Displaystyle 0 < varphi <2 pi ,} функция синуса внутри абсолютная величина Знак остается строго положительным, поэтому знаки абсолютного значения могут быть опущены. Функция Clausen также имеет Ряд Фурье представление:
Cl 2 ( φ ) = ∑ k = 1 ∞ грех k φ k 2 = грех φ + грех 2 φ 2 2 + грех 3 φ 3 2 + грех 4 φ 4 2 + ⋯ { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( varphi) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k varphi} {k ^ {2}}} = sin varphi + { frac { sin 2 varphi} {2 ^ {2}}} + { frac { sin 3 varphi} {3 ^ {2}}} + { frac { sin 4 varphi} {4 ^ {2}}} + cdots} Функции Клаузена как класс функций широко используются во многих областях современных математических исследований, особенно в отношении оценки многих классов логарифмический и полилогарифмические интегралы, как определенные, так и неопределенные. У них также есть множество приложений в отношении суммирования гипергеометрический ряд , суммирования, содержащие инверсию центральный биномиальный коэффициент , суммы полигамма функция , и Дирихле L-серия .
Основные свойства В Функция Clausen (порядка 2) имеет простые нули при всех (целых) кратных π , { Displaystyle пи, ,} k ∈ Z { Displaystyle к в mathbb {Z} ,} грех k π = 0 { Displaystyle грех к пи = 0}
Cl 2 ( м π ) = 0 , м = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , ⋯ { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (m pi) = 0, quad m = 0, , pm 1, , pm 2, , pm 3, , cdots} Имеет максимумы при θ = π 3 + 2 м π [ м ∈ Z ] { displaystyle theta = { frac { pi} {3}} + 2m pi quad [m in mathbb {Z}]}
Cl 2 ( π 3 + 2 м π ) = 1.01494160 … { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {3}} + 2m pi right) = 1.01494160 ldots} и минимумы при θ = − π 3 + 2 м π [ м ∈ Z ] { displaystyle theta = - { frac { pi} {3}} + 2m pi quad [m in mathbb {Z}]}
Cl 2 ( − π 3 + 2 м π ) = − 1.01494160 … { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left (- { frac { pi} {3}} + 2m pi right) = - 1.01494160 ldots} Следующие свойства являются непосредственными следствиями определения ряда:
Cl 2 ( θ + 2 м π ) = Cl 2 ( θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( theta + 2m pi) = operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} Cl 2 ( − θ ) = − Cl 2 ( θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (- theta) = - operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} (Ссылка : См. Lu and Perez, 1992, ниже для этих результатов, хотя никаких доказательств не приводится).
Общее определение Стандартные функции Clausen
Функции Глейшера – Клаузена
В более общем смысле, можно определить две обобщенные функции Clausen:
S z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ грех k θ k z { displaystyle operatorname {S} _ {z} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {z}}}} C z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ потому что k θ k z { displaystyle operatorname {C} _ {z} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {z}}}} которые действительны для сложных z с Re z > 1. Определение может быть распространено на всю комплексную плоскость через аналитическое продолжение .
Когда z заменяется на неотрицательное целое число, Стандартные функции Clausen определяются следующими Ряд Фурье :
Cl 2 м + 2 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ грех k θ k 2 м + 2 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 2} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 2} }}} Cl 2 м + 1 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ потому что k θ k 2 м + 1 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 1} }}} Sl 2 м + 2 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ потому что k θ k 2 м + 2 { displaystyle operatorname {Sl} _ {2m + 2} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 2} }}} Sl 2 м + 1 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ грех k θ k 2 м + 1 { displaystyle operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 1} }}} N.B. В Функции Clausen типа SL иметь альтернативное обозначение Gl м ( θ ) { displaystyle operatorname {Gl} _ {m} ( theta) ,} Функции Глейшера – Клаузена (после Джеймс Уитбред Ли Глейшер , отсюда и GL-обозначение).
Связь с полиномами Бернулли В Функция Clausen типа SL являются многочленами от θ { Displaystyle , theta ,} Полиномы Бернулли . Эта связь очевидна из Ряд Фурье представления полиномов Бернулли:
B 2 п − 1 ( Икс ) = 2 ( − 1 ) п ( 2 п − 1 ) ! ( 2 π ) 2 п − 1 ∑ k = 1 ∞ грех 2 π k Икс k 2 п − 1 . { Displaystyle B_ {2n-1} (x) = { frac {2 (-1) ^ {n} (2n-1)!} {(2 pi) ^ {2n-1}}} , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin 2 pi kx} {k ^ {2n-1}}}.}. B 2 п ( Икс ) = 2 ( − 1 ) п − 1 ( 2 п ) ! ( 2 π ) 2 п ∑ k = 1 ∞ потому что 2 π k Икс k 2 п . { Displaystyle B_ {2n} (x) = { frac {2 (-1) ^ {n-1} (2n)!} {(2 pi) ^ {2n}}} , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos 2 pi kx} {k ^ {2n}}}.}. Параметр Икс = θ / 2 π { Displaystyle , х = тета / 2 пи ,}
Sl 2 м ( θ ) = ( − 1 ) м − 1 ( 2 π ) 2 м 2 ( 2 м ) ! B 2 м ( θ 2 π ) , { displaystyle operatorname {Sl} _ {2m} ( theta) = { frac {(-1) ^ {m-1} (2 pi) ^ {2m}} {2 (2m)!}} B_ {2m} left ({ frac { theta} {2 pi}} right),} Sl 2 м − 1 ( θ ) = ( − 1 ) м ( 2 π ) 2 м − 1 2 ( 2 м − 1 ) ! B 2 м − 1 ( θ 2 π ) , { displaystyle operatorname {Sl} _ {2m-1} ( theta) = { frac {(-1) ^ {m} (2 pi) ^ {2m-1}} {2 (2m-1) !}} B_ {2m-1} left ({ frac { theta} {2 pi}} right),} где Полиномы Бернулли B п ( Икс ) { Displaystyle , В_ {п} (х) ,} Числа Бернулли B п ≡ B п ( 0 ) { Displaystyle , В_ {п} эквив В_ {п} (0) ,}
B п ( Икс ) = ∑ j = 0 п ( п j ) B j Икс п − j . { displaystyle B_ {n} (x) = sum _ {j = 0} ^ {n} { binom {n} {j}} B_ {j} x ^ {n-j}.} Явные оценки, полученные на основе вышеизложенного, включают:
Sl 1 ( θ ) = π 2 − θ 2 , { displaystyle operatorname {Sl} _ {1} ( theta) = { frac { pi} {2}} - { frac { theta} {2}},} Sl 2 ( θ ) = π 2 6 − π θ 2 + θ 2 4 , { displaystyle operatorname {Sl} _ {2} ( theta) = { frac { pi ^ {2}} {6}} - { frac { pi theta} {2}} + { frac { theta ^ {2}} {4}},} Sl 3 ( θ ) = π 2 θ 6 − π θ 2 4 + θ 3 12 , { displaystyle operatorname {Sl} _ {3} ( theta) = { frac { pi ^ {2} theta} {6}} - { frac { pi theta ^ {2}} {4 }} + { frac { theta ^ {3}} {12}},} Sl 4 ( θ ) = π 4 90 − π 2 θ 2 12 + π θ 3 12 − θ 4 48 . { displaystyle operatorname {Sl} _ {4} ( theta) = { frac { pi ^ {4}} {90}} - { frac { pi ^ {2} theta ^ {2}} {12}} + { frac { pi theta ^ {3}} {12}} - { frac { theta ^ {4}} {48}}.} Формула дублирования За 0 < θ < π { Displaystyle 0 < тета < пи}
Cl 2 ( 2 θ ) = 2 Cl 2 ( θ ) − 2 Cl 2 ( π − θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = 2 operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) } Обозначение Каталонская постоянная к K = Cl 2 ( π 2 ) { displaystyle K = operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {2}} right)}
Cl 2 ( π 4 ) − Cl 2 ( 3 π 4 ) = K 2 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {4}} right) - operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {3 pi} {4}} right) = { frac {K} {2}}} 2 Cl 2 ( π 3 ) = 3 Cl 2 ( 2 π 3 ) { displaystyle 2 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {3}} right) = 3 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {2 pi} {3}} right)} Для функций Clausen более высокого порядка формулы дублирования могут быть получены из приведенной выше; просто замените θ { Displaystyle , theta ,} фиктивная переменная Икс { displaystyle x} [ 0 , θ ] . { Displaystyle , [0, theta]. ,}
Cl 3 ( 2 θ ) = 4 Cl 3 ( θ ) + 4 Cl 3 ( π − θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {3} (2 theta) = 4 operatorname {Cl} _ {3} ( theta) +4 operatorname {Cl} _ {3} ( pi - theta) } Cl 4 ( 2 θ ) = 8 Cl 4 ( θ ) − 8 Cl 4 ( π − θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {4} (2 theta) = 8 operatorname {Cl} _ {4} ( theta) -8 operatorname {Cl} _ {4} ( pi - theta) } Cl 5 ( 2 θ ) = 16 Cl 5 ( θ ) + 16 Cl 5 ( π − θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {5} (2 theta) = 16 operatorname {Cl} _ {5} ( theta) +16 operatorname {Cl} _ {5} ( pi - theta) } Cl 6 ( 2 θ ) = 32 Cl 6 ( θ ) − 32 Cl 6 ( π − θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {6} (2 theta) = 32 operatorname {Cl} _ {6} ( theta) -32 operatorname {Cl} _ {6} ( pi - theta) } И вообще, после индукции по м , м ≥ 1 { Displaystyle , м, , , м geq 1}
Cl м + 1 ( 2 θ ) = 2 м [ Cl м + 1 ( θ ) + ( − 1 ) м Cl м + 1 ( π − θ ) ] { displaystyle operatorname {Cl} _ {m + 1} (2 theta) = 2 ^ {m} { Bigg [} operatorname {Cl} _ {m + 1} ( theta) + (- 1) ^ {m} operatorname {Cl} _ {m + 1} ( pi - theta) { Bigg]}} Использование обобщенной формулы дублирования позволяет расширить результат для функции Clausen порядка 2, включая Каталонская постоянная . За м ∈ Z ≥ 1 { Displaystyle , м в mathbb {Z} geq 1 ,}
Cl 2 м ( π 2 ) = 2 2 м − 1 [ Cl 2 м ( π 4 ) − Cl 2 м ( 3 π 4 ) ] = β ( 2 м ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {2}} right) = 2 ^ {2m-1} left [ operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {4}} right) - operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {3 pi} {4}} right) right] = beta (2м)} Где β ( Икс ) { Displaystyle , бета (х) ,} Бета-функция Дирихле .
Доказательство формулы дублирования Из интегрального определения
Cl 2 ( 2 θ ) = − ∫ 0 2 θ бревно | 2 грех Икс 2 | d Икс { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = - int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2} } { Bigg |} , dx} Примените формулу дублирования для функция синуса , грех Икс = 2 грех Икс 2 потому что Икс 2 { displaystyle sin x = 2 sin { frac {x} {2}} cos { frac {x} {2}}}
− ∫ 0 2 θ бревно | ( 2 грех Икс 4 ) ( 2 потому что Икс 4 ) | d Икс = − ∫ 0 2 θ бревно | 2 грех Икс 4 | d Икс − ∫ 0 2 θ бревно | 2 потому что Икс 4 | d Икс { displaystyle { begin {align} & - int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} left (2 sin { frac {x} {4}} right) left (2 cos { frac {x} {4}} right) { Bigg |} , dx = {} & - int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {4}} { Bigg |} , dx- int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} 2 cos { frac { х} {4}} { Bigg |} , dx конец {выровнено}}} Применить замену Икс = 2 у , d Икс = 2 d у { Displaystyle х = 2y, dx = 2 , dy}
− 2 ∫ 0 θ бревно | 2 грех Икс 2 | d Икс − 2 ∫ 0 θ бревно | 2 потому что Икс 2 | d Икс = 2 Cl 2 ( θ ) − 2 ∫ 0 θ бревно | 2 потому что Икс 2 | d Икс { displaystyle { begin {align} & - 2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx-2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 cos { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx = {} & 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 cos { frac {x} {2}} { Bigg | } , dx end {выровнено}}} На этом последнем интеграле положим у = π − Икс , Икс = π − у , d Икс = − d у { displaystyle y = pi -x, , x = pi -y, , dx = -dy} потому что ( Икс − у ) = потому что Икс потому что у − грех Икс грех у { Displaystyle соз (х-у) = соз х соз у- грех х грех у}
потому что ( π − у 2 ) = грех у 2 ⟹ Cl 2 ( 2 θ ) = 2 Cl 2 ( θ ) − 2 ∫ 0 θ бревно | 2 потому что Икс 2 | d Икс = 2 Cl 2 ( θ ) + 2 ∫ π π − θ бревно | 2 грех у 2 | d у = 2 Cl 2 ( θ ) − 2 Cl 2 ( π − θ ) + 2 Cl 2 ( π ) { displaystyle { begin {align} & cos left ({ frac { pi -y} {2}} right) = sin { frac {y} {2}} Longrightarrow qquad & operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 cos { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx = {} & 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) +2 int _ { pi} ^ { pi - theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {y} {2}} { Bigg |} , dy = {} & 2 , operatorname { Cl} _ {2} ( theta) -2 , operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) +2 , operatorname {Cl} _ {2} ( pi) end { выровнено}}} Cl 2 ( π ) = 0 { Displaystyle OperatorName {Cl} _ {2} ( pi) = 0 ,} Следовательно,
Cl 2 ( 2 θ ) = 2 Cl 2 ( θ ) − 2 Cl 2 ( π − θ ) . ◻ { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 , operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) ,. , Box} Производные функций Клаузена общего порядка Прямая дифференциация Ряд Фурье расширения для функций Clausen дают:
d d θ Cl 2 м + 2 ( θ ) = d d θ ∑ k = 1 ∞ грех k θ k 2 м + 2 = ∑ k = 1 ∞ потому что k θ k 2 м + 1 = Cl 2 м + 1 ( θ ) { displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2m + 2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} sum _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 2}}} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 1}}} = operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta)} d d θ Cl 2 м + 1 ( θ ) = d d θ ∑ k = 1 ∞ потому что k θ k 2 м + 1 = − ∑ k = 1 ∞ грех k θ k 2 м = − Cl 2 м ( θ ) { displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta) = { frac {d} {d theta}} sum _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 1}}} = - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta } {k ^ {2m}}} = - operatorname {Cl} _ {2m} ( theta)} d d θ Sl 2 м + 2 ( θ ) = d d θ ∑ k = 1 ∞ потому что k θ k 2 м + 2 = − ∑ k = 1 ∞ грех k θ k 2 м + 1 = − Sl 2 м + 1 ( θ ) { displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Sl} _ {2m + 2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} sum _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 2}}} = - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta } {k ^ {2m + 1}}} = - operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta)} d d θ Sl 2 м + 1 ( θ ) = d d θ ∑ k = 1 ∞ грех k θ k 2 м + 1 = ∑ k = 1 ∞ потому что k θ k 2 м = Sl 2 м ( θ ) { displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta) = { frac {d} {d theta}} sum _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 1}}} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m}}} = operatorname {Sl} _ {2m} ( theta)} Обращаясь к Первая основная теорема исчисления , у нас также есть:
d d θ Cl 2 ( θ ) = d d θ [ − ∫ 0 θ бревно | 2 грех Икс 2 | d Икс ] = − бревно | 2 грех θ 2 | = Cl 1 ( θ ) { displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} left [- int _ {0 } ^ { theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx , right] = - log { Bigg |} 2 грех { frac { theta} {2}} { Bigg |} = operatorname {Cl} _ {1} ( theta)} Связь с обратным касательным интегралом В обратный касательный интеграл определяется на интервале 0 < z < 1 { displaystyle 0
Ti 2 ( z ) = ∫ 0 z загар − 1 Икс Икс d Икс = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) 2 { displaystyle operatorname {Ti} _ {2} (z) = int _ {0} ^ {z} { frac { tan ^ {- 1} x} {x}} , dx = sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1) ^ {2}}}} С точки зрения функции Clausen он имеет следующую закрытую форму:
Ti 2 ( загар θ ) = θ бревно ( загар θ ) + 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) + 1 2 Cl 2 ( π − 2 θ ) { displaystyle operatorname {Ti} _ {2} ( tan theta) = theta log ( tan theta) + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( 2 theta) + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta)} Доказательство интегрального отношения обратной касательной Из интегрального определения обратный касательный интеграл , у нас есть
Ti 2 ( загар θ ) = ∫ 0 загар θ загар − 1 Икс Икс d Икс { displaystyle operatorname {Ti} _ {2} ( tan theta) = int _ {0} ^ { tan theta} { frac { tan ^ {- 1} x} {x}} , dx} Выполнение интеграции по частям
∫ 0 загар θ загар − 1 Икс Икс d Икс = загар − 1 Икс бревно Икс | 0 загар θ − ∫ 0 загар θ бревно Икс 1 + Икс 2 d Икс = { displaystyle int _ {0} ^ { tan theta} { frac { tan ^ {- 1} x} {x}} , dx = tan ^ {- 1} x log x , { Bigg |} _ {0} ^ { tan theta} - int _ {0} ^ { tan theta} { frac { log x} {1 + x ^ {2}}} , dx =} θ бревно загар θ − ∫ 0 загар θ бревно Икс 1 + Икс 2 d Икс { displaystyle theta log tan theta - int _ {0} ^ { tan theta} { frac { log x} {1 + x ^ {2}}} , dx} Применить замену Икс = загар у , у = загар − 1 Икс , d у = d Икс 1 + Икс 2 { displaystyle x = tan y, , y = tan ^ {- 1} x, , dy = { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} ,}
θ бревно загар θ − ∫ 0 θ бревно ( загар у ) d у { Displaystyle theta log tan theta - int _ {0} ^ { theta} log ( tan y) , dy} Для этого последнего интеграла примените преобразование: у = Икс / 2 , d у = d Икс / 2 { Displaystyle у = х / 2, , dy = dx / 2 ,}
θ бревно загар θ − 1 2 ∫ 0 2 θ бревно ( загар Икс 2 ) d Икс = θ бревно загар θ − 1 2 ∫ 0 2 θ бревно ( грех ( Икс / 2 ) потому что ( Икс / 2 ) ) d Икс = θ бревно загар θ − 1 2 ∫ 0 2 θ бревно ( 2 грех ( Икс / 2 ) 2 потому что ( Икс / 2 ) ) d Икс = θ бревно загар θ − 1 2 ∫ 0 2 θ бревно ( 2 грех Икс 2 ) d Икс + 1 2 ∫ 0 2 θ бревно ( 2 потому что Икс 2 ) d Икс = θ бревно загар θ + 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) + 1 2 ∫ 0 2 θ бревно ( 2 потому что Икс 2 ) d Икс . { displaystyle { begin {align} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { 2 theta} log left ({ frac { sin (x / 2)} { cos (x / 2)}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left ({ frac {2 sin (x / 2)} {2 cos ( x / 2)}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 sin { frac {x} {2}} right) , dx + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x} {2}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x } {2}} right) , dx. End {align}}} Наконец, как и в случае доказательства формулы дублирования, подстановка Икс = ( π − у ) { Displaystyle х = ( пи -у) ,}
∫ 0 2 θ бревно ( 2 потому что Икс 2 ) d Икс = Cl 2 ( π − 2 θ ) − Cl 2 ( π ) = Cl 2 ( π − 2 θ ) { displaystyle int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x} {2}} right) , dx = operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta) - operatorname {Cl} _ {2} ( pi) = operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta)} Таким образом
Ti 2 ( загар θ ) = θ бревно загар θ + 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) + 1 2 Cl 2 ( π − 2 θ ) . ◻ { displaystyle operatorname {Ti} _ {2} ( tan theta) = theta log tan theta + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta) ,. , Box} Связь с G-функцией Барнса Серьезно 0 < z < 1 { displaystyle 0 G-функция Барнса и (Эйлер) Гамма-функция :
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π бревно ( грамм ( 1 − z ) грамм ( 1 + z ) ) + 2 π z бревно ( π грех π z ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (1 + z)}} right) +2 pi z log left ({ frac { pi} { sin pi z}} right)} Или эквивалентно
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π бревно ( грамм ( 1 − z ) грамм ( z ) ) − 2 π бревно Γ ( z ) + 2 π z бревно ( π грех π z ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (z)}} right) -2 pi log Gamma (z) +2 pi z log left ({ frac { pi} { sin pi z}} right)} Ссылка: см. Адамчик , "Вклад в теорию функции Барнса", ниже.
Отношение к полилогарифму Функции Clausen представляют действительную и мнимую части полилогарифма на единичный круг :
Cl 2 м ( θ ) = ℑ ( Ли 2 м ( е я θ ) ) , м ∈ Z ≥ 1 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} ( theta) = Im ( operatorname {Li} _ {2m} (e ^ {i theta})), quad m in mathbb {Z} geq 1} Cl 2 м + 1 ( θ ) = ℜ ( Ли 2 м + 1 ( е я θ ) ) , м ∈ Z ≥ 0 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta) = Re ( operatorname {Li} _ {2m + 1} (e ^ {i theta})), quad m in mathbb {Z} geq 0} В этом легко убедиться, обратившись к определению серии полилогарифм .
Ли п ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k п ⟹ Ли п ( е я θ ) = ∑ k = 1 ∞ ( е я θ ) k k п = ∑ k = 1 ∞ е я k θ k п { displaystyle operatorname {Li} _ {n} (z) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} {k ^ {n}}} quad Longrightarrow operatorname {Li} _ {n} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { left (e ^ {i theta } right) ^ {k}} {k ^ {n}}} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {ik theta}} {k ^ {n}} }} По теореме Эйлера
е я θ = потому что θ + я грех θ { Displaystyle е ^ {я тета} = соз тета + я грех тета} и по теореме де Муавра (Формула де Муавра )
( потому что θ + я грех θ ) k = потому что k θ + я грех k θ ⇒ Ли п ( е я θ ) = ∑ k = 1 ∞ потому что k θ k п + я ∑ k = 1 ∞ грех k θ k п { displaystyle ( cos theta + i sin theta) ^ {k} = cos k theta + i sin k theta quad Rightarrow operatorname {Li} _ {n} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {n}}} + i , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {n}}}} Следовательно
Ли 2 м ( е я θ ) = ∑ k = 1 ∞ потому что k θ k 2 м + я ∑ k = 1 ∞ грех k θ k 2 м = Sl 2 м ( θ ) + я Cl 2 м ( θ ) { displaystyle operatorname {Li} _ {2m} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} { k ^ {2m}}} + i , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m}}} = operatorname {Sl} _ { 2m} ( theta) + i operatorname {Cl} _ {2m} ( theta)} Ли 2 м + 1 ( е я θ ) = ∑ k = 1 ∞ потому что k θ k 2 м + 1 + я ∑ k = 1 ∞ грех k θ k 2 м + 1 = Cl 2 м + 1 ( θ ) + я Sl 2 м + 1 ( θ ) { displaystyle operatorname {Li} _ {2m + 1} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta } {k ^ {2m + 1}}} + i , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 1}}} = имя оператора {Cl} _ {2m + 1} ( theta) + i имя оператора {Sl} _ {2m + 1} ( theta)} Связь с функцией полигаммы Функции Clausen тесно связаны с полигамма функция . В самом деле, можно выразить функции Клаузена как линейные комбинации синусоидальных и полигамма-функций. Одно из таких соотношений показано здесь и доказано ниже:
Cl 2 м ( q π п ) = 1 ( 2 п ) 2 м ( 2 м − 1 ) ! ∑ j = 1 п грех ( q j π п ) [ ψ 2 м − 1 ( j 2 п ) + ( − 1 ) q ψ 2 м − 1 ( j + п 2 п ) ] { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = { frac {1} {(2p) ^ {2m} (2m-1) !}} , sum _ {j = 1} ^ {p} sin left ({ tfrac {qj pi} {p}} right) , left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right )верно]} Позволять п { Displaystyle , п ,} q { Displaystyle , д ,} q / п { Displaystyle , д / п ,} 0 < q / п < 1 { Displaystyle , 0 <д / р <1 ,}
Cl 2 м ( q π п ) = ∑ k = 1 ∞ грех ( k q π / п ) k 2 м { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin (kq pi / p)} {k ^ {2m}}}} Мы разбиваем эту сумму ровно на п -частей, так что первая серия содержит все и только те термины, которые соответствуют k п + 1 , { Displaystyle , кп + 1, ,} k п + 2 , { Displaystyle , кп + 2, ,} п -я часть, содержащая все термины, соответствующие k п + п { Displaystyle , кп + р ,}
Cl 2 м ( q π п ) = ∑ k = 0 ∞ грех [ ( k п + 1 ) q π п ] ( k п + 1 ) 2 м + ∑ k = 0 ∞ грех [ ( k п + 2 ) q π п ] ( k п + 2 ) 2 м + ∑ k = 0 ∞ грех [ ( k п + 3 ) q π п ] ( k п + 3 ) 2 м + ⋯ ⋯ + ∑ k = 0 ∞ грех [ ( k п + п − 2 ) q π п ] ( k п + п − 2 ) 2 м + ∑ k = 0 ∞ грех [ ( k п + п − 1 ) q π п ] ( k п + п − 1 ) 2 м + ∑ k = 0 ∞ грех [ ( k п + п ) q π п ] ( k п + п ) 2 м { displaystyle { begin {align} & operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = {} & sum _ {k = 0 } ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 1) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + 1) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 2) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + 2) ^ { 2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 3) { frac {q pi} {p}} right]} {( kp + 3) ^ {2m}}} + cdots & cdots + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p-2) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p-2) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p-1) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p-1) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p) ^ {2m}}} end {выровнено}} } Мы можем проиндексировать эти суммы, чтобы получить двойную сумму:
Cl 2 м ( q π п ) = ∑ j = 1 п { ∑ k = 0 ∞ грех [ ( k п + j ) q π п ] ( k п + j ) 2 м } = ∑ j = 1 п 1 п 2 м { ∑ k = 0 ∞ грех [ ( k п + j ) q π п ] ( k + ( j / п ) ) 2 м } { displaystyle { begin {align} & operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {j = 1} ^ {p} { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right]} { (kp + j) ^ {2m}}} { Bigg }} = {} & sum _ {j = 1} ^ {p} { frac {1} {p ^ {2m}}} { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right]} {( k + (j / p)) ^ {2m}}} { Bigg }} конец {выровнено}}} Применяя формулу сложения для функция синуса , грех ( Икс + у ) = грех Икс потому что у + потому что Икс грех у , { Displaystyle , грех (х + у) = грех х соз у + соз х грех у, ,}
грех [ ( k п + j ) q π п ] = грех ( k q π + q j π п ) = грех k q π потому что q j π п + потому что k q π грех q j π п { displaystyle sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right] = sin left (kq pi + { frac {qj pi} {p}} right) = sin kq pi cos { frac {qj pi} {p}} + cos kq pi sin { frac {qj pi} {p}}} грех м π ≡ 0 , потому что м π ≡ ( − 1 ) м ⟺ м = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , … { Displaystyle грех м пи эквив 0, квад , соз м пи экв (-1) ^ {м} четырехъядерный Longleftrightarrow м = 0, , pm 1, , pm 2 , , pm 3, , ldots} грех [ ( k п + j ) q π п ] = ( − 1 ) k q грех q j π п { displaystyle sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right] = (- 1) ^ {kq} sin { frac {qj pi} {p} }} Как следствие,
Cl 2 м ( q π п ) = ∑ j = 1 п 1 п 2 м грех ( q j π п ) { ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k q ( k + ( j / п ) ) 2 м } { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {j = 1} ^ {p} { frac {1} { p ^ {2m}}} sin left ({ frac {qj pi} {p}} right) , { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { гидроразрыв {(-1) ^ {kq}} {(k + (j / p)) ^ {2m}}} { Bigg }}} Чтобы преобразовать внутренняя сумма в двойной сумме в непеременную сумму, разделенную на две части точно так же, как предыдущая сумма была разделена на п -части:
∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k q ( k + ( j / п ) ) 2 м = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) ( 2 k ) q ( ( 2 k ) + ( j / п ) ) 2 м + ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) ( 2 k + 1 ) q ( ( 2 k + 1 ) + ( j / п ) ) 2 м = ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + ( j / п ) ) 2 м + ( − 1 ) q ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + 1 + ( j / п ) ) 2 м = 1 2 п [ ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + ( j / 2 п ) ) 2 м + ( − 1 ) q ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + ( j + п 2 п ) ) 2 м ] { Displaystyle { begin {align} & sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {kq}} {(k + (j / p)) ^ {2m}} } = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {(2k) q}} {((2k) + (j / p)) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {(2k + 1) q}} {((2k + 1) + (j / p)) ^ {2m}} } = {} & sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + (j / p)) ^ {2m}}} + (- 1) ^ {q} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + 1 + (j / p)) ^ {2m}}} = {} & { frac {1 } {2 ^ {p}}} left [ sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + (j / 2p)) ^ {2m}}} + (- 1 ) ^ {q} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + left ({ frac {j + p} {2p}} right)) ^ { 2м}}} right] end {выровнено}}} За м ∈ Z ≥ 1 { Displaystyle , м в mathbb {Z} geq 1 ,} полигамма функция имеет представление серии
ψ м ( z ) = ( − 1 ) м + 1 м ! ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + z ) м + 1 { displaystyle psi _ {m} (z) = (- 1) ^ {m + 1} m! sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + z) ^ {м + 1}}}} Итак, с точки зрения полигамма-функции предыдущий внутренняя сумма становится:
1 2 2 м ( 2 м − 1 ) ! [ ψ 2 м − 1 ( j 2 п ) + ( − 1 ) q ψ 2 м − 1 ( j + п 2 п ) ] { displaystyle { frac {1} {2 ^ {2m} (2m-1)!}} left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right) right]} Вставив это обратно в двойная сумма дает желаемый результат:
Cl 2 м ( q π п ) = 1 ( 2 п ) 2 м ( 2 м − 1 ) ! ∑ j = 1 п грех ( q j π п ) [ ψ 2 м − 1 ( j 2 п ) + ( − 1 ) q ψ 2 м − 1 ( j + п 2 п ) ] { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = { frac {1} {(2p) ^ {2m} (2m-1) !}} , sum _ {j = 1} ^ {p} sin left ({ tfrac {qj pi} {p}} right) , left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right )верно]} Связь с обобщенным логином интегралом В обобщенный журнал интеграл определяется:
L s п м ( θ ) = − ∫ 0 θ Икс м бревно п − м − 1 | 2 грех Икс 2 | d Икс { displaystyle { mathcal {L}} s_ {n} ^ {m} ( theta) = - int _ {0} ^ { theta} x ^ {m} log ^ {nm-1} { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx} В этой обобщенной записи функция Clausen может быть выражена в форме:
Cl 2 ( θ ) = L s 2 0 ( θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( theta) = { mathcal {L}} s_ {2} ^ {0} ( theta)} Отношение Куммера Эрнст Куммер и Роджерс дают соотношение
Ли 2 ( е я θ ) = ζ ( 2 ) − θ ( 2 π − θ ) / 4 + я Cl 2 ( θ ) { displaystyle operatorname {Li} _ {2} (e ^ {i theta}) = zeta (2) - theta (2 pi - theta) / 4 + i operatorname {Cl} _ {2 } ( theta)} Годен до 0 ≤ θ ≤ 2 π { displaystyle 0 leq theta leq 2 pi}
Связь с функцией Лобачевского В Функция Лобачевского Λ или A - по сути, одна и та же функция с заменой переменной:
Λ ( θ ) = − ∫ 0 θ бревно | 2 грех ( т ) | d т = Cl 2 ( 2 θ ) / 2 { Displaystyle Lambda ( theta) = - int _ {0} ^ { theta} log | 2 sin (t) | , dt = operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) / 2} хотя название «функция Лобачевского» не совсем исторически достоверно, так как формулы Лобачевского для гиперболического объема использовали несколько иную функцию
∫ 0 θ бревно | сек ( т ) | d т = Λ ( θ + π / 2 ) + θ бревно 2. { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log | sec (t) | , dt = Lambda ( theta + pi / 2) + theta log 2.} Связь с L-функциями Дирихле Для рациональных значений θ / π { displaystyle theta / pi} θ / π = п / q { Displaystyle тета / пи = р / д} п и q ), функция грех ( п θ ) { Displaystyle грех (п тета)} циклическая группа , и поэтому Cl s ( θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {s} ( theta)} Дзета-функция Гурвица .[нужна цитата Это позволяет установить отношения между определенными L-функции Дирихле быть легко вычисленным.
Серийное ускорение А серийное ускорение для функции Clausen задается
Cl 2 ( θ ) θ = 1 − бревно | θ | + ∑ п = 1 ∞ ζ ( 2 п ) п ( 2 п + 1 ) ( θ 2 π ) 2 п { displaystyle { frac { operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} { theta}} = 1- log | theta | + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n)} {n (2n + 1)}} left ({ frac { theta} {2 pi}} right) ^ {2n}} что справедливо для | θ | < 2 π { displaystyle | theta | <2 pi} ζ ( s ) { displaystyle zeta (s)} Дзета-функция Римана . Более быстро сходящаяся форма дается
Cl 2 ( θ ) θ = 3 − бревно [ | θ | ( 1 − θ 2 4 π 2 ) ] − 2 π θ бревно ( 2 π + θ 2 π − θ ) + ∑ п = 1 ∞ ζ ( 2 п ) − 1 п ( 2 п + 1 ) ( θ 2 π ) 2 п . { displaystyle { frac { operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} { theta}} = 3- log left [| theta | left (1 - { frac { theta ^ {2}} {4 pi ^ {2}}} right) right] - { frac {2 pi} { theta}} log left ({ frac {2 pi + theta} {2 pi - theta}} right) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n) -1} {n (2n + 1)}} left ( { frac { theta} {2 pi}} right) ^ {2n}.} Конвергенции способствует то, что ζ ( п ) − 1 { Displaystyle zeta (п) -1} п . Обе формы можно получить с помощью методов пересуммирования, используемых для получения рациональная дзета-серия . (см. Borwein, et al., 2000, ниже).
Особые ценности Напомним G-функция Барнса и Каталонская постоянная K . Некоторые специальные значения включают
Cl 2 ( π 2 ) = K { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {2}} right) = K} Cl 2 ( π 3 ) = 3 π бревно ( грамм ( 2 3 ) грамм ( 1 3 ) ) − 3 π бревно Γ ( 1 3 ) + π бревно ( 2 π 3 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {3}} right) = 3 pi log left ({ frac {G left ({ frac { 2} {3}} right)} {G left ({ frac {1} {3}} right)}} right) -3 pi log Gamma left ({ frac {1} {3}} right) + pi log left ({ frac {2 pi} { sqrt {3}}} right)} Cl 2 ( 2 π 3 ) = 2 π бревно ( грамм ( 2 3 ) грамм ( 1 3 ) ) − 2 π бревно Γ ( 1 3 ) + 2 π 3 бревно ( 2 π 3 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {2 pi} {3}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac {2} {3}} right)} {G left ({ frac {1} {3}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {1 } {3}} right) + { frac {2 pi} {3}} log left ({ frac {2 pi} { sqrt {3}}} right)} Cl 2 ( π 4 ) = 2 π бревно ( грамм ( 7 8 ) грамм ( 1 8 ) ) − 2 π бревно Γ ( 1 8 ) + π 4 бревно ( 2 π 2 − 2 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {4}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac { 7} {8}} right)} {G left ({ frac {1} {8}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {1} {8}} right) + { frac { pi} {4}} log left ({ frac {2 pi} { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}} right )} Cl 2 ( 3 π 4 ) = 2 π бревно ( грамм ( 5 8 ) грамм ( 3 8 ) ) − 2 π бревно Γ ( 3 8 ) + 3 π 4 бревно ( 2 π 2 + 2 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {3 pi} {4}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac {5} {8}} right)} {G left ({ frac {3} {8}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {3 } {8}} right) + { frac {3 pi} {4}} log left ({ frac {2 pi} { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} верно)} Cl 2 ( π 6 ) = 2 π бревно ( грамм ( 11 12 ) грамм ( 1 12 ) ) − 2 π бревно Γ ( 1 12 ) + π 6 бревно ( 2 π 2 3 − 1 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {6}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac { 11} {12}} right)} {G left ({ frac {1} {12}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {1} {12}} right) + { frac { pi} {6}} log left ({ frac {2 pi { sqrt {2}}} {{ sqrt {3}} - 1} }верно)} Cl 2 ( 5 π 6 ) = 2 π бревно ( грамм ( 7 12 ) грамм ( 5 12 ) ) − 2 π бревно Γ ( 5 12 ) + 5 π 6 бревно ( 2 π 2 3 + 1 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {5 pi} {6}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac {7} {12}} right)} {G left ({ frac {5} {12}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {5 } {12}} right) + { frac {5 pi} {6}} log left ({ frac {2 pi { sqrt {2}}} {{ sqrt {3}} + 1}} right)} В общем, из Формула отражения G-функции Барнса ,
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π бревно ( грамм ( 1 − z ) грамм ( z ) ) − 2 π бревно Γ ( z ) + 2 π z бревно ( π грех π z ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (z)}} right) -2 pi log Gamma (z) +2 pi z log left ({ frac { pi} { sin pi z}} right)} Эквивалентно, используя Эйлера формула отражения для гамма-функции, то
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π бревно ( грамм ( 1 − z ) грамм ( z ) ) − 2 π бревно Γ ( z ) + 2 π z бревно ( Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (z)}} right) -2 pi log Gamma (z) +2 pi z log { big (} Gamma (z) Gamma (1-z) { big)}} Обобщенные специальные значения Некоторые специальные значения для функций Clausen более высокого порядка включают
Cl 2 м т ( 0 ) = Cl 2 м ( π ) = Cl 2 м ( 2 π ) = 0 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} t (0) = operatorname {Cl} _ {2m} ( pi) = operatorname {Cl} _ {2m} (2 pi) = 0} Cl 2 м ( π 2 ) = β ( 2 м ) { Displaystyle OperatorName {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {2}} right) = beta (2m)} Cl 2 м + 1 ( 0 ) = Cl 2 м + 1 ( 2 π ) = ζ ( 2 м + 1 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} (0) = operatorname {Cl} _ {2m + 1} (2 pi) = zeta (2m + 1)} Cl 2 м + 1 ( π ) = − η ( 2 м + 1 ) = − ( 2 2 м − 1 2 2 м ) ζ ( 2 м + 1 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( pi) = - eta (2m + 1) = - left ({ frac {2 ^ {2m} -1} {2 ^ {2m}) }} right) zeta (2m + 1)} Cl 2 м + 1 ( π 2 ) = − 1 2 2 м + 1 η ( 2 м + 1 ) = − ( 2 2 м − 1 2 4 м + 1 ) ζ ( 2 м + 1 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} left ({ frac { pi} {2}} right) = - { frac {1} {2 ^ {2m + 1}}} эта (2m + 1) = - left ({ frac {2 ^ {2m} -1} {2 ^ {4m + 1}}} right) zeta (2m + 1)} куда β ( Икс ) { Displaystyle бета (х)} Бета-функция Дирихле , η ( Икс ) { Displaystyle eta (х)} Эта функция Дирихле (также называемая чередующейся дзета-функцией), и ζ ( Икс ) { Displaystyle zeta (х)} Дзета-функция Римана .
Интегралы прямой функции Следующие интегралы легко доказываются из представлений функции Клаузена в серии:
∫ 0 θ Cl 2 м ( Икс ) d Икс = ζ ( 2 м + 1 ) − Cl 2 м + 1 ( θ ) { displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Cl} _ {2m} (x) , dx = zeta (2m + 1) - operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta)} ∫ 0 θ Cl 2 м + 1 ( Икс ) d Икс = Cl 2 м + 2 ( θ ) { displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Cl} _ {2m + 1} (x) , dx = operatorname {Cl} _ {2m + 2} ( theta)} ∫ 0 θ Sl 2 м ( Икс ) d Икс = Sl 2 м + 1 ( θ ) { displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Sl} _ {2m} (x) , dx = operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta)} ∫ 0 θ Sl 2 м + 1 ( Икс ) d Икс = ζ ( 2 м + 2 ) − Cl 2 м + 2 ( θ ) { displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Sl} _ {2m + 1} (x) , dx = zeta (2m + 2) - operatorname {Cl} _ {2m + 2 } ( theta)} С помощью Фурье-аналитических методов можно найти первые моменты квадрата функции Cl 2 ( Икс ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (x)} [ 0 , π ] { displaystyle [0, pi]} [1]
∫ 0 π Cl 2 2 ( Икс ) d Икс = ζ ( 4 ) , { displaystyle int _ {0} ^ { pi} operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = zeta (4),} ∫ 0 π т Cl 2 2 ( Икс ) d Икс = 221 90720 π 6 − 4 ζ ( 5 ¯ , 1 ) − 2 ζ ( 4 ¯ , 2 ) , { displaystyle int _ {0} ^ { pi} t operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = { frac {221} {90720}} pi ^ {6 } -4 zeta ({ overline {5}}, 1) -2 zeta ({ overline {4}}, 2),} ∫ 0 π т 2 Cl 2 2 ( Икс ) d Икс = − 2 3 π [ 12 ζ ( 5 ¯ , 1 ) + 6 ζ ( 4 ¯ , 2 ) − 23 10080 π 6 ] . { displaystyle int _ {0} ^ { pi} t ^ {2} operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = - { frac {2} {3}} pi left [12 zeta ({ overline {5}}, 1) +6 zeta ({ overline {4}}, 2) - { frac {23} {10080}} pi ^ {6 }верно].} Здесь ζ { displaystyle zeta} Множественная дзета-функция .
Интегральные оценки, включающие прямую функцию Большое количество тригонометрических и логарифм-тригонометрических интегралов можно вычислить с помощью функции Клаузена и различных общих математических констант, таких как K { Displaystyle , К ,} Каталонская постоянная ), бревно 2 { Displaystyle , журнал 2 ,} дзета-функция , ζ ( 2 ) { Displaystyle , zeta (2) ,} ζ ( 3 ) { Displaystyle , zeta (3) ,}
Примеры, перечисленные ниже, следуют непосредственно из интегрального представления функции Клаузена, и для доказательства требуется немного больше, чем базовая тригонометрия, интегрирование по частям и случайное поэтапное интегрирование функции. Ряд Фурье определения функций Clausen.
∫ 0 θ бревно ( грех Икс ) d Икс = − 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) − θ бревно 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log ( sin x) , dx = - { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) - theta log 2} ∫ 0 θ бревно ( потому что Икс ) d Икс = 1 2 Cl 2 ( π − 2 θ ) − θ бревно 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log ( cos x) , dx = { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 тета) - тета log 2} ∫ 0 θ бревно ( загар Икс ) d Икс = − 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) − 1 2 Cl 2 ( π − 2 θ ) { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log ( tan x) , dx = - { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) - { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta)} ∫ 0 θ бревно ( 1 + потому что Икс ) d Икс = 2 Cl 2 ( π − θ ) − θ бревно 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1+ cos x) , dx = 2 operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) - theta log 2 } ∫ 0 θ бревно ( 1 − потому что Икс ) d Икс = − 2 Cl 2 ( θ ) − θ бревно 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1- cos x) , dx = -2 operatorname {Cl} _ {2} ( theta) - theta log 2} ∫ 0 θ бревно ( 1 + грех Икс ) d Икс = 2 K − 2 Cl 2 ( π 2 + θ ) − θ бревно 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1+ sin x) , dx = 2K-2 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} { 2}} + theta right) - theta log 2} ∫ 0 θ бревно ( 1 − грех Икс ) d Икс = − 2 K + 2 Cl 2 ( π 2 − θ ) − θ бревно 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1- sin x) , dx = -2K + 2 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {2}} - theta right) - theta log 2} Рекомендации ^ Иштван, Мезо (2020). «Лог-синус-интегралы и знакопеременные суммы Эйлера». Acta Mathematica Hungarica (160): 45–57. Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 27.8» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 1005. ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . МИСТЕР 0167642 . LCCN 65-12253 .Клаузен, Томас (1832). "Über die Функция sin φ + (1/22 ) sin 2φ + (1/32 ) sin 3φ + и т. д. " . Журнал für die reine und angewandte Mathematik 8 : 298–300. ISSN 0075-4102 . CS1 maint: ref = harv (связь) Вуд, Ван Э. (1968). «Эффективное вычисление интеграла Клаузена» . Математика. Comp . 22 (104): 883–884. Дои :10.1090 / S0025-5718-1968-0239733-9 МИСТЕР 0239733 . Леонард Левин , (Ред.). Структурные свойства полилогарифмов. (1991) Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN 0-8218-4532-2Лу, Хунг Юнг; Перес, Кристофер А. (1992). «Безмассовый однопетлевой скалярный трехточечный интеграл и связанные с ним функции Клаузена, Глейшера и L-функции» (PDF) . Кёльбиг, Курт Зигфрид (1995). «Коэффициенты Чебышева для функции Клаузена Cl2 (Икс)" . J. Comput. Appl. Математика . 64 (3): 295–297. Дои :10.1016/0377-0427(95)00150-6 МИСТЕР 1365432 . Борвейн, Джонатан М. ; Брэдли, Дэвид М .; Крэндалл, Ричард Э. (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF) . J. Comp. Приложение. Математика . 121 (1–2): 247–296. Bibcode :2000JCoAM.121..247B . Дои :10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8 . МИСТЕР 1780051 .CS1 maint: ref = harv (связь) Адамчик Виктор. С. (2003). «Вклад в теорию функции Барнса». arXiv :математика / 0308086v1 Калмыков Михаил Юрьевич; Шепляков, А. (2005). «LSJK - библиотека C ++ для числового вычисления произвольной точности обобщенного логарифмического синусоидального интеграла». Comput. Phys. Сообщество . 172 : 45–59. arXiv :hep-ph / 0411100 Bibcode :2005CoPhC.172 ... 45K . Дои :10.1016 / j.cpc.2005.04.013 . Borwein, Jonathan M .; Штрауб, Армин (2013). «Отношения для полилогарифмов Нильсена». J. Прибл. Теория . 193 . С. 74–88. Дои :10.1016 / j.jat.2013.07.003 . Матар, Р. Дж. (2013). «Реализация сумм Clausen C99». arXiv :1309.7504 math.NA ]. 
![theta = { frac { pi} {3}} + 2m pi quad [m in { mathbb {Z}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301caa56535304b0db827b753a2cd412f5665c12)
![theta = - { frac { pi} {3}} + 2m pi quad [m in { mathbb {Z}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fae98e863733e316c672bdd9098be49e228b375)
![, [0, theta]. ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c44a38c13c401abf6dbb2f057fd64ed963a251d)
![operatorname {Cl} _ {{m + 1}} (2 theta) = 2 ^ {m} { Bigg [} operatorname {Cl} _ {{m + 1}} ( theta) + (- 1 ) ^ {m} operatorname {Cl} _ {{m + 1}} ( pi - theta) { Bigg]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10dd4dd625b17f804ab4c361f3d6e57eb9a865f)
![{ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {2}} right) = 2 ^ {2m-1} left [ operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {4}} right) - operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {3 pi} {4}} right) right] = beta (2м)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddd71810db9ae56ce6285cb7936562583ce2fba)
![{ displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} left [- int _ {0 } ^ { theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx , right] = - log { Bigg |} 2 грех { frac { theta} {2}} { Bigg |} = operatorname {Cl} _ {1} ( theta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6de2cbfc23bf9e854bddf84be513e4b003c56e4)
![{ displaystyle { begin {align} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { 2 theta} log left ({ frac { sin (x / 2)} { cos (x / 2)}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left ({ frac {2 sin (x / 2)} {2 cos ( x / 2)}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 sin { frac {x} {2}} right) , dx + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x} {2}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x } {2}} right) , dx. End {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1e40c055b307b1f1196786837809a1285052fb)
![{ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = { frac {1} {(2p) ^ {2m} (2m-1) !}} , sum _ {j = 1} ^ {p} sin left ({ tfrac {qj pi} {p}} right) , left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right )верно]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9811ae712344b8f051869b880fd4c33014a83d)
![{ displaystyle { begin {align} & operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = {} & sum _ {k = 0 } ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 1) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + 1) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 2) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + 2) ^ { 2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 3) { frac {q pi} {p}} right]} {( kp + 3) ^ {2m}}} + cdots & cdots + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p-2) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p-2) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p-1) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p-1) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p) ^ {2m}}} end {выровнено}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0abb29e3b9265e66eb7018f652f04098a17d91d4)
![{ displaystyle { begin {align} & operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {j = 1} ^ {p} { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right]} { (kp + j) ^ {2m}}} { Bigg }} = {} & sum _ {j = 1} ^ {p} { frac {1} {p ^ {2m}}} { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right]} {( k + (j / p)) ^ {2m}}} { Bigg }} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9510b11782b0f9906cb6ad3bb16e63d751e27985)
![sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right] = sin left (kq pi + { frac {qj pi} {p}} right) = sin kq pi cos { frac {qj pi} {p}} + cos kq pi sin { frac {qj pi} {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d008f83fd90d3fdc35c7093aedbabe52cd9276a0)
![sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right] = (- 1) ^ {{kq}} sin { frac {qj pi} {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1506219055a797a00176b8c46dd48bfafd65ff31)
![{ Displaystyle { begin {align} & sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {kq}} {(k + (j / p)) ^ {2m}} } = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {(2k) q}} {((2k) + (j / p)) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {(2k + 1) q}} {((2k + 1) + (j / p)) ^ {2m}} } = {} & sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + (j / p)) ^ {2m}}} + (- 1) ^ {q} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + 1 + (j / p)) ^ {2m}}} = {} & { frac {1 } {2 ^ {p}}} left [ sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + (j / 2p)) ^ {2m}}} + (- 1 ) ^ {q} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + left ({ frac {j + p} {2p}} right)) ^ { 2м}}} right] end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ce051d7cfe0c8342394d252d02154385293cda)
![{ displaystyle { frac {1} {2 ^ {2m} (2m-1)!}} left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right) right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26128b06fdb94c2a6db03c6dadef51a6ba4f2418)
![{ displaystyle { frac { operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} { theta}} = 3- log left [| theta | left (1 - { frac { theta ^ {2}} {4 pi ^ {2}}} right) right] - { frac {2 pi} { theta}} log left ({ frac {2 pi + theta} {2 pi - theta}} right) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n) -1} {n (2n + 1)}} left ( { frac { theta} {2 pi}} right) ^ {2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1d4a1a5b2d04b3fd5d444f6f4ba039b7177983)
![[0, пи]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { pi} t ^ {2} operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = - { frac {2} {3}} pi left [12 zeta ({ overline {5}}, 1) +6 zeta ({ overline {4}}, 2) - { frac {23} {10080}} pi ^ {6 }верно].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13a18ca3ea120e1cd61af71afab0eb1d9f6f29f)
