Формула отражения - Reflection formula - Wikipedia

В математика, а формула отражения или же отношение отражения для функция ж это отношения между ж(а − Икс) и ж(Икс). Это частный случай функциональное уравнение, и в литературе очень часто используется термин «функциональное уравнение», когда имеется в виду «формула отражения».

Формулы отражения полезны для числовое вычисление из специальные функции. По сути, приближение, которое имеет большую точность или сходится только на одной стороне точки отражения (обычно в положительной половине комплексная плоскость ) можно использовать для всех аргументов.

Известная формула

В четные и нечетные функции удовлетворять простым отношениям отражения вокруг а = 0. Для всех четных функций

${ Displaystyle е (-х) = е (х),}$

и для всех нечетных функций

${ Displaystyle f (-x) = - f (x).}$

Знаменитые отношения Формула отражения Эйлера

${ Displaystyle Gamma (z) Gamma (1-z) = { frac { pi} { sin {( pi z)}}}, qquad z not in mathbb {Z}}$

для гамма-функция ${ Displaystyle Gamma (г)}$, из-за Леонард Эйлер.

Также существует формула отражения для общего п-й порядок полигамма функция ψ^(п)(z),

${ Displaystyle psi ^ {(n)} (1-z) + (- 1) ^ {n + 1} psi ^ {(n)} (z) = (- 1) ^ {n} pi { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} cot {( pi z)}}$

что тривиально проистекает из того факта, что полигамма-функции определяются как производные от ${ displaystyle ln Gamma}$ и, таким образом, наследуют формулу отражения.

В Дзета-функция Римана ζ (z) удовлетворяет

${ displaystyle { frac { zeta (1-z)} { zeta (z)}} = { frac {2 , Gamma (z)} {(2 pi) ^ {z}}} cos left ({ frac { pi z} {2}} right),}$

и Функция Римана Кси ξ (z) удовлетворяет

${ Displaystyle xi (z) = xi (1-z).}$

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. «Отражение отношения». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Полигамма-функция». MathWorld.