Категориальный след - Categorical trace

В математике категоричный след является обобщением след матрицы.

Определение

Трасса определяется в контексте симметричная моноидальная категория C, т.е. категория, снабженная подходящим понятием продукта ${ displaystyle otimes}$ . (Обозначения отражают, что произведение во многих случаях является разновидностью тензорного произведения.) Объект Икс в такой категории C называется двойственный если есть другой объект ${ Displaystyle X ^ { vee}}$ играя роль двойного объекта Икс. В этой ситуации след морфизма ${ displaystyle f: X to X}$ определяется как композиция следующих морфизмов: ${ displaystyle mathrm {tr} (f): 1 to X otimes X ^ { vee} { stackrel {f otimes id} { to}} X otimes X ^ { vee} to 1 }$ где 1 - моноидальная единица, а экстремальные морфизмы - это сооценка и оценка, которые являются частью определения дуализуемых объектов.^[1]

То же самое определение применяется, с большим эффектом, также, когда C является симметричной моноидальной ∞-категорией.

Примеры

Если C - категория векторных пространств над фиксированным полем k, дуализируемые объекты - это в точности конечномерные векторные пространства, а след в указанном выше смысле является морфизмом

{ displaystyle k to k}

которое есть умножение на след эндоморфизма ж в обычном смысле линейной алгебры. В этом смысле категорный след обобщает линейно-алгебраический след.

Если C ∞-категория цепные комплексы модулей (над фиксированным коммутативным кольцом р), дуализируемые объекты V в C точно идеальные комплексы. Трассировка в этой настройке фиксирует, например, Эйлерова характеристика, который представляет собой переменную сумму рангов его членов:

{ displaystyle mathrm {tr} (id_ {V}) = sum _ {i} (- 1) ^ {i} operatorname {rank} V_ {i}.}

^[2]

Дальнейшие приложения

Кондырев и Приходько (2018) использовали методы категориального следа для доказательства алгебро-геометрической версии Формула Атьи – Ботта для неподвижной точки, расширение Формула фиксированной точки Лефшеца.

Категориальный след - Categorical trace

Содержание

Определение

Примеры

Дальнейшие приложения

Рекомендации