Арифметическая фуксова группа - Arithmetic Fuchsian group

Арифметические фуксовы группы особый класс Фуксовы группы построен с использованием заказы в кватернионные алгебры. Это частные примеры арифметические группы. Прототипным примером арифметической фуксовой группы является модульная группа ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ . Они и гиперболическая поверхность связанных с их действиями на гиперболическая плоскость часто демонстрируют особенно регулярное поведение среди фуксовых групп и гиперболических поверхностей.

Определение и примеры

Кватернионные алгебры

Кватернионная алгебра над полем ${ displaystyle F}$ четырехмерный центральный простой ${ displaystyle F}$ -алгебра. Алгебра кватернионов имеет основу ${ displaystyle 1, i, j, ij}$ где ${ displaystyle i ^ {2}, j ^ {2} in F ^ { times}}$ и ${ displaystyle ij = -ji}$ .

Алгебра кватернионов называется расщепляемой над ${ displaystyle F}$ если он изоморфен как ${ displaystyle F}$ -алгебра к алгебре матриц ${ Displaystyle M_ {2} (F)}$ .

Если ${ displaystyle sigma}$ это вложение ${ displaystyle F}$ в поле ${ displaystyle E}$ обозначим через ${ displaystyle A otimes _ { sigma} E}$ алгебра, полученная расширение скаляров из ${ displaystyle F}$ к ${ displaystyle E}$ где мы смотрим ${ displaystyle F}$ как подполе ${ displaystyle E}$ через ${ displaystyle sigma}$ .

Арифметические фуксовы группы

Подгруппа ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ как говорят полученный из кватернионной алгебры если его можно получить с помощью следующей конструкции. Позволять ${ displaystyle F}$ быть поле полностью действительных чисел и ${ displaystyle A}$ кватернионная алгебра над ${ displaystyle F}$ удовлетворяющие следующим условиям. Сначала уникальное вложение ${ displaystyle sigma: F hookrightarrow mathbb {R}}$ такой, что ${ displaystyle A otimes _ { sigma} mathbb {R}}$ разделен на ${ Displaystyle mathbb {R}}$ ; обозначим через ${ displaystyle phi: A otimes _ { sigma} mathbb {R} to M_ {2} ( mathbb {R})}$ изоморфизм ${ Displaystyle mathbb {R}}$ -алгебры. Мы также просим, чтобы для всех других вложений ${ Displaystyle тау}$ алгебра ${ displaystyle A otimes _ { tau} mathbb {R}}$ не расщепляется (это эквивалентно изоморфности Кватернионы Гамильтона ). Далее нам нужен заказ ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ в ${ displaystyle A}$ . Позволять ${ Displaystyle { mathcal {O}} ^ {1}}$ быть группой элементов в ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ приведенной нормы 1 и пусть ${ displaystyle Gamma}$ быть его изображением в ${ Displaystyle M_ {2} ( mathbb {R})}$ через ${ displaystyle phi}$ . Тогда образ ${ displaystyle Gamma}$ является подгруппой ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$ (поскольку приведенная норма матричной алгебры - это просто определитель), и мы можем рассматривать фуксову группу, которая является ее образом в ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ .

Главный факт об этих группах состоит в том, что они являются дискретными подгруппами и имеют конечный кообъем для Мера Хаара на ${ displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R}).}$ Более того, приведенная выше конструкция дает кокомпактную подгруппу тогда и только тогда, когда алгебра ${ displaystyle A}$ не разделен ${ displaystyle F}$ . Дискретность - довольно непосредственное следствие того, что ${ displaystyle A}$ разбивается только при одном реальном вложении. Конечность коволюма доказать сложнее.^[1]

An арифметическая фуксова группа любая подгруппа ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ который соизмеримый в группу, полученную из алгебры кватернионов. Из этого определения сразу следует, что арифметические фуксовы группы дискретны и имеют конечный ковобъем (это означает, что они решетки в ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ ).

Примеры

Простейшим примером арифметической фуксовой группы является модульная ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {Z}),}$ который получается построением выше с ${ Displaystyle А = М_ {2} ( mathbb {Q})}$ и ${ displaystyle { mathcal {O}} = M_ {2} ( mathbb {Z}).}$ Принимая Заказы Эйхлера в ${ displaystyle A}$ мы получаем подгруппы ${ displaystyle Gamma _ {0} (N)}$ за ${ Displaystyle N geqslant 2}$ конечного индекса в ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ который можно явно записать следующим образом:

{ displaystyle Gamma _ {0} (N) = left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} in mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {Z} ): c = 0 { pmod {N}} right }.}

Конечно, арифметичность таких подгрупп следует из того факта, что они имеют конечный индекс в арифметической группе ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ ; они принадлежат к более общему классу подгрупп конечного индекса, конгруэнтных подгрупп.

Любой порядок в алгебре кватернионов над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ который не разделен ${ displaystyle mathbb {Q}}$ но распадается ${ Displaystyle mathbb {R}}$ дает кокомпактную арифметическую фуксову группу. Таких алгебр предостаточно.^[2]

В более общем смысле, все порядки в алгебрах кватернионов (удовлетворяющие указанным выше условиям), которые не являются ${ Displaystyle M_ {2} ( mathbb {Q})}$ дают кокомпактные подгруппы. Другой пример, представляющий особый интерес, получается, если взять ${ displaystyle A}$ быть Кватернионы Гурвица.

Максимальные подгруппы

Естественный вопрос состоит в том, чтобы идентифицировать среди арифметических фуксовых групп те, которые строго не входят в большую дискретную подгруппу. Они называются максимальный Клейновы группы и можно дать полную классификацию в данном классе арифметической соизмеримости. Отметим, что из теоремы Маргулиса следует, что решетка в ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {C})}$ является арифметическим тогда и только тогда, когда оно соизмеримо с бесконечным числом максимальных клейновых групп.

Подгруппы конгруэнтности

А главная конгруэнтная подгруппа из ${ Displaystyle Gamma = mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ является подгруппой вида:

{ displaystyle Gamma (N) = left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} in mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {Z}): a, d = 1 { pmod {N}}, , b, c = 0 { pmod {N}} right }}

для некоторых ${ Displaystyle N geqslant 1.}$ Это нормальные подгруппы конечного индекса и фактор- ${ Displaystyle Gamma / Gamma (N)}$ изоморфна конечной группе ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z} / N mathbb {Z}).}$ А подгруппа конгруэнции из ${ displaystyle Gamma}$ по определению является подгруппой, содержащей главную конгруэнтную подгруппу (это группы, которые определяются взятием матриц из ${ displaystyle Gamma}$ которые удовлетворяют определенным сравнениям по модулю целого числа, отсюда и название).

Примечательно, что не все подгруппы конечного индекса ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ являются конгруэнтными подгруппами. Хороший способ увидеть это - заметить, что ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ есть подгруппы, которые сюрприз на переменная группа ${ displaystyle A_ {n}}$ для произвольных ${ displaystyle n,}$ и поскольку для больших ${ displaystyle n}$ группа ${ displaystyle A_ {n}}$ не является подгруппой ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z} / N mathbb {Z})}$ для любого ${ displaystyle N}$ эти подгруппы не могут быть конгруэнтными подгруппами. Фактически можно также видеть, что неконгруэнтных подгрупп гораздо больше, чем конгруэнтных подгрупп в ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ .^[3]

Понятие конгруэнтной подгруппы обобщается на кокомпактные арифметические фуксовы группы, и приведенные выше результаты также верны в этой общей ситуации.

Построение с помощью квадратичных форм

Существует изоморфизм между ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ и связная компонента ортогональная группа ${ Displaystyle mathrm {SO} (2,1)}$ заданный действием первого сопряжением на пространстве матриц нулевого следа, на котором определитель индуцирует структуру действительного квадратичное пространство подписи (2,1). Арифметические фуксовы группы могут быть построены непосредственно в последней группе, взяв целые точки в ортогональной группе, связанной с квадратичными формами, определенными над числовыми полями (и удовлетворяющими определенным условиям).

В этом соответствии модульная группа ассоциирована с точностью до соизмеримости с группой ${ displaystyle mathrm {SO} (2,1) ( mathbb {Z}).}$ ^[4]

Арифметические клейновы группы

Приведенная выше конструкция может быть адаптирована для получения подгрупп в ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {C})}$ : вместо того, чтобы просить ${ displaystyle F}$ быть полностью реальным и ${ displaystyle A}$ быть разделенным ровно на одно реальное вложение, которое требуется ${ displaystyle F}$ иметь ровно одно комплексное вложение с точностью до комплексной сопряженности, при которой ${ displaystyle A}$ автоматически разбивается, и это ${ displaystyle A}$ не разделяется ни при каком встраивании ${ Displaystyle F hookrightarrow mathbb {R}}$ . Подгруппы ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {C})}$ соизмеримые с полученными этой конструкцией, называются арифметические клейновы группы. Как и в фуксовом случае, арифметические клейновы группы - это дискретные подгруппы конечного кообъема.

Поля следов арифметических фуксовых групп

Инвариант поле трассировки фуксовой группы (или, через образ монодромии фундаментальной группы, гиперболической поверхности) есть поле, порожденное следами квадратов ее элементов. В случае арифметической поверхности, фундаментальная группа которой соизмерима с фуксовой группой, полученной из алгебры кватернионов над числовым полем ${ displaystyle F}$ инвариантное поле следа равно ${ displaystyle F}$ .

Фактически можно охарактеризовать арифметические многообразия через следы элементов их фундаментальной группы, результат, известный как критерий Такеучи.^[5] Фуксова группа является арифметической тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия:

Его инвариантное поле следа ${ displaystyle F}$ это поле полностью действительных чисел;
Следы его элементов алгебраические целые числа;
Есть вложение ${ displaystyle sigma: F to mathbb {R}}$ такой, что для любого ${ displaystyle gamma}$ в группе, ${ displaystyle t = mathrm {Trace} ( gamma ^ {2})}$ и любые другие вложения ${ Displaystyle sigma neq sigma ': F to mathbb {R}}$ у нас есть ${ Displaystyle | sigma '(т) | leqslant 2}$ .

Геометрия арифметических гиперболических поверхностей

Группа Ли ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ группа положительных изометрий гиперболической плоскости ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ . Таким образом, если ${ displaystyle Gamma}$ дискретная подгруппа ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ тогда ${ displaystyle Gamma}$ действует правильно прерывисто на ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ . Если к тому же ${ displaystyle Gamma}$ является без кручения тогда действие свободный и фактор-пространство ${ Displaystyle Gamma setminus mathbb {H} ^ {2}}$ это поверхность (двумерное многообразие) с гиперболическая метрика (риманова метрика постоянной секционной кривизны −1). Если ${ displaystyle Gamma}$ арифметическая фуксова группа такая поверхность ${ displaystyle S}$ называется арифметическая гиперболическая поверхность (не путать с арифметические поверхности из арифметической геометрии; однако, когда контекст ясен, "гиперболический" спецификатор может быть опущен). Поскольку арифметические фуксовы группы имеют конечный ковобъем, арифметические гиперболические поверхности всегда имеют конечный риманов объем (т.е. интеграл по ${ displaystyle S}$ из объемная форма конечно).

Формула объема и конечность

Можно дать формулу для объема выделенных арифметических поверхностей из арифметических данных, с которыми она была построена. Позволять ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ - максимальный порядок в алгебре кватернионов ${ displaystyle A}$ из дискриминант ${ displaystyle D_ {A}}$ над полем ${ displaystyle F}$ , позволять ${ displaystyle r = [F: mathbb {Q}]}$ быть его степенью, ${ displaystyle D_ {F}}$ его дискриминант и ${ displaystyle zeta _ {F}}$ его Дзета-функция Дедекинда. Позволять ${ displaystyle Gamma _ { mathcal {O}}}$ - арифметическая группа, полученная из ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ по описанной выше процедуре и ${ displaystyle S}$ то орбифолд ${ displaystyle Gamma _ {O} setminus mathbb {H} ^ {2}}$ . Его объем вычисляется по формуле^[6]

{ displaystyle operatorname {vol} (S) = { frac {2 | D_ {F} | ^ { frac {3} {2}} cdot zeta _ {F} (2)} {(2 pi) ^ {2r-2}}} cdot prod _ {{ mathfrak {p}} mid D_ {A}} (N ({ mathfrak {p}}) - 1);}

продукт принимается главные идеалы из ${ displaystyle O_ {F}}$ разделение ${ displaystyle (D_ {A})}$ и мы напоминаем ${ Displaystyle N ( cdot)}$ это норма функция на идеалах, т.е. ${ Displaystyle N ({ mathfrak {p}})}$ - мощность конечного кольца ${ displaystyle O_ {F} / { mathfrak {p}}}$ ). Читатель может проверить, что если ${ Displaystyle { mathcal {O}} = M_ {2} ( mathbb {Z})}$ результат этой формулы восстанавливает хорошо известный результат, что гиперболический объем модульной поверхности равен ${ displaystyle pi / 3}$ .

Вместе с описанием максимальных подгрупп и результатами о конечности числовых полей эта формула позволяет доказать следующее утверждение:

Учитывая любые ${ displaystyle V> 0}$ существует лишь конечное число арифметических поверхностей, объем которых меньше, чем ${ displaystyle V}$ .

Обратите внимание, что в размерностях четыре и более теорема Вана о конечности (следствие местная жесткость ) утверждает, что это утверждение остается верным, заменяя «арифметику» на «конечный объем». Асимптотический эквивалент для числа арифметических многообразий определенного объема был дан Белолипецким — Геландером — Любоцким — Мозесом.^[7]

Минимальный объем

Гиперболический орбифолд минимального объема может быть получен как поверхность, ассоциированная с определенным порядком, т.е. Кватернионный порядок Гурвица, и он компактный по объему ${ displaystyle pi / 21}$ .

Замкнутые геодезические и радиусы приемистости

А закрытая геодезическая на римановом многообразии является замкнутая кривая это также геодезический. Можно дать эффективное описание множества таких кривых на арифметической поверхности или на трехмногообразии: они соответствуют определенным единицам в определенных квадратичных расширениях основного поля (описание длинное и не приводится здесь полностью). Например, длина примитивных замкнутых геодезических на модульной поверхности соответствует модулю единиц нормы один в вещественных квадратичных полях. Это описание было использовано Сарнаком, чтобы установить гипотезу Гаусса о среднем порядке группы классов вещественных квадратичных полей.^[8]

Можно использовать арифметические поверхности^[9] построить семейства поверхностей рода ${ displaystyle g}$ для любого ${ displaystyle g}$ которые удовлетворяют (оптимальному, с точностью до константы) систолическое неравенство

{ displaystyle operatorname {sys} (S) geqslant { frac {4} {3}} log g.}

Спектры арифметических гиперболических поверхностей

Собственные значения и собственные функции Лапласа

Если ${ displaystyle S}$ является гиперболической поверхностью, то существует выделенный оператор ${ displaystyle Delta}$ на гладкие функции на ${ displaystyle S}$ . В случае, когда ${ displaystyle S}$ компактна, она простирается до неограниченный, по существу самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве ${ Displaystyle L ^ {2} (S)}$ из квадратично интегрируемые функции на ${ displaystyle S}$ . В спектральная теорема в римановой геометрии утверждает, что существует ортонормированный базис ${ Displaystyle phi _ {0}, phi _ {1}, ldots, phi _ {n}, ldots}$ из собственные функции за ${ displaystyle Delta}$ . Связанный собственные значения ${ displaystyle lambda _ {0} = 0 < lambda _ {1} leqslant lambda _ {2} leqslant cdots}$ неограничены, и их асимптотика определяется Закон Вейля.

В случае, когда ${ Displaystyle S = Gamma setminus mathbb {H} ^ {2}}$ является арифметическим, эти собственные функции представляют собой особый тип автоморфные формы за ${ displaystyle Gamma}$ называется Формы Маасса. Собственные значения ${ displaystyle Delta}$ представляют интерес для теоретиков чисел, а также распределение и узловые наборы из ${ displaystyle phi _ {n}}$ .

Случай, когда ${ displaystyle S}$ имеет конечный объем более сложная, но аналогичная теория может быть установлена с помощью понятия куспид.

Гипотеза Сельберга

В спектральный промежуток поверхности ${ displaystyle S}$ по определению является зазор между наименьшим собственным значением ${ displaystyle lambda _ {0} = 0}$ и второе наименьшее собственное значение ${ displaystyle lambda _ {1}> 0}$ ; таким образом, его стоимость равна ${ displaystyle lambda _ {1}}$ и обозначим его через ${ displaystyle lambda _ {1} (S).}$ В общем, его можно сделать сколь угодно малым (см. Randol) (однако он имеет положительную нижнюю границу для поверхности с фиксированным объемом). Гипотеза Сельберга - это следующее утверждение, дающее гипотетическую равномерную нижнюю оценку в арифметическом случае:

Если ${ displaystyle Gamma subset mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ является решеткой, полученной из алгебры кватернионов и ${ displaystyle Gamma '}$ является конгруэнтной подгруппой без кручения группы ${ displaystyle Gamma,}$ тогда для ${ Displaystyle S = Gamma ' setminus mathbb {H} ^ {2}}$ у нас есть

{ displaystyle lambda _ {1} (S) geqslant { tfrac {1} {4}}.}

Обратите внимание, что это утверждение действительно только для подкласса арифметических поверхностей и, как можно видеть, неверно для общих подгрупп конечного индекса в решетках, полученных из кватернионных алгебр. Оригинальное заявление Сельберга^[10] сделано только для конгруэнтных покрытий модульной поверхности и проверено для некоторых малых групп.^[11] Сам Сельберг доказал нижнюю границу ${ displaystyle lambda _ {1} geqslant { tfrac {1} {16}},}$ результат, известный как «теорема Сельберга 1/16». Самый известный результат в целом принадлежит Луо-Руднику-Сарнаку.^[12]

Равномерность спектральной щели имеет значение для построения графики расширения как графы Шрайера ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z}).}$ ^[13]

Отношения с геометрией

Формула следа Сельберга показывает, что для гиперболической поверхности конечного объема это эквивалентно знать спектр длин (набор длин всех замкнутых геодезических на ${ displaystyle S}$ , с кратностями) и спектр ${ displaystyle Delta}$ . Однако точное соотношение не является явным.

Другое соотношение между спектром и геометрией дается формулой Неравенство Чигера, что в случае поверхности ${ displaystyle S}$ примерно утверждает, что положительная нижняя граница спектральной щели ${ displaystyle S}$ переводится в положительную нижнюю оценку общей длины набора гладких замкнутых кривых, разделяющих ${ displaystyle S}$ на две связанные компоненты.

Квантовая эргодичность

В квантовая эргодичность Теорема Шнирельмана, Колина де Вердьера и Зельдича утверждает, что в среднем собственные функции равнораспределены на ${ displaystyle S}$ . Уникальная гипотеза о квантовой эргодичности Рудника и Сарнака спрашивает, верно ли более сильное утверждение, что индивидуальные собственные функции равнораспределены. Формально заявление выглядит следующим образом.

Позволять ${ displaystyle S}$ быть арифметической поверхностью и ${ displaystyle phi _ {j}}$ - последовательность функций на ${ displaystyle S}$ такой, что

{ displaystyle Delta phi _ {j} = lambda _ {j} phi _ {j}, qquad int _ {S} phi _ {j} (x) ^ {2} , dx = 1.}

Тогда для любой гладкой функции с компактным носителем ${ displaystyle psi}$ на ${ displaystyle S}$ у нас есть

{ displaystyle lim _ {j to infty} left ( int _ {S} psi (x) phi _ {j} (x) ^ {2} , dx right) = int _ {S} psi (x) , dx.}

Эту гипотезу доказал Э. Линденштраус.^[14] в случае, когда ${ displaystyle S}$ компактный и ${ displaystyle phi _ {j}}$ дополнительно являются собственными функциями для Операторы Гекке на ${ displaystyle S}$ . В случае конгруэнтных покрытий модульной конструкции возникают дополнительные трудности, с которыми разбирался К.Сундарараджан.^[15]

Изоспектральные поверхности

Тот факт, что для арифметических поверхностей арифметические данные определяют спектр оператора Лапласа ${ displaystyle Delta}$ был отмечен М. Ф. Виньерасом^[16] и использовался ею для построения примеров изоспектральных компактных гиперболических поверхностей. Точное заявление выглядит следующим образом:

Если ${ displaystyle A}$ является кватернионной алгеброй, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {1}, { mathcal {O}} _ {2}}$ максимальные заказы в ${ displaystyle A}$ и ассоциированные фуксовы группы ${ displaystyle Gamma _ {1}, Gamma _ {2}}$ без кручения, то гиперболические поверхности ${ Displaystyle S_ {я} = Гамма _ {я} setminus mathbb {H} ^ {2}}$ имеют тот же спектр Лапласа.

Затем Виньерас построил явные экземпляры для ${ displaystyle A, { mathcal {O}} _ {1}, { mathcal {O}} _ {2}}$ удовлетворяющие вышеуказанным условиям и такие, что в дополнение ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {2}}$ не сопряжена с элементом ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {2}.}$ Полученные изоспектральные гиперболические поверхности не изометричны.

Примечания

^ Каток 1992.
^ Каток 1992, раздел 5.6.
^ Любоцкий Александр; Сегал, Дэн (2003). «Глава 7». Рост подгруппы. Birkhäuser.
^ Калегари, Дэнни (17 мая 2014 г.). «Сказка о двух арифметических решетках». Получено 20 июн 2016.
^ Каток 1992, Глава 5.
^ Борель, Арман (1981). «Классы соизмеримости и объемы трехмерных гиперболических многообразий». Анна. Scuola Norm. Sup.Pisa Cl. Наука. 8: 1–33.
^ Белолипецкий, Миша; Геландер, Цачик; Любоцкий Александр; Шалев, Анер (2010). «Счетные арифметические решетки и поверхности». Анна. математики. 172 (3): 2197–2221. arXiv:0811.2482. Дои:10.4007 / анналы.2010.172.2197.
^ Сарнак, Питер (1982). «Числа классов неопределенных двоичных квадратичных форм». J. Теория чисел. 15 (2): 229–247. Дои:10.1016 / 0022-314x (82) 90028-2.
^ Кац, М .; Schaps, M .; Вишне, У. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей по подгруппам конгруэнций». J. Дифференциальная геометрия. 76 (3): 399–422. arXiv:math.DG / 0505007. Дои:10.4310 / jdg / 1180135693.
^ Сельберг, Атле (1965), «Об оценке коэффициентов Фурье модулярных форм», в Whiteman, Альберт Леон (ред.), Теория чисел, Труды симпозиумов по чистой математике, VIII, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 1–15, ISBN 978-0-8218-1408-6, Г-Н 0182610
^ Roelcke, W. "Uber die Wellengleichung bei Grenzkreisgruppen erster Art". С.-Б. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1953/1955 (на немецком языке): 159–267.
^ Ким, Х. Х. (2003). С приложением 1 Динакара Рамакришнана и приложением 2 Ким и Питером Сарнаками. "Функциональность внешнего квадрата ${ displaystyle GL_ {4}}$ и симметричная четверть ${ displaystyle GL_ {2}}$ ". J. Amer. Математика. Soc. 16: 139–183. Дои:10.1090 / S0894-0347-02-00410-1.
^ Любоцкий, Александр (1994). Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры. Birkhäuser.
^ Линденштраус, Илон (2006). «Инвариантные меры и арифметическая квантовая однозначная эргодичность». Анна. математики. 163: 165–219. Дои:10.4007 / анналы.2006.163.165.
^ Саундарараджан, Каннан (2010). "Квантовая уникальная эргодичность для ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z}) setminus { mathcal {H}}}$ " (PDF). Анна. математики. 172: 1529–1538. Дои:10.4007 / анналы.2010.172.1529. JSTOR 29764647. Г-Н 2680500.
^ Виньера, Мари-Франс (1980). "Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques". Анна. математики. (На французском). 112 (1): 21–32. Дои:10.2307/1971319. JSTOR 1971319.