Постоянная Чигера - Cheeger constant

В Риманова геометрия, то Изопериметрическая константа Чигера из компактный Риманово многообразие M положительное действительное число час(M), определенную в терминах минимального площадь из гиперповерхность что разделяет M на две непересекающиеся части. В 1970 г. Джефф Чигер доказали неравенство, связывающее первые нетривиальные собственное значение из Оператор Лапласа – Бельтрами на M к час(M). Эта идея оказалась очень влиятельной в римановой геометрии и глобальный анализ и вдохновил аналогичную теорию для графики.

Определение

Позволять M быть п-размерный закрыто Риманово многообразие. Позволять V(А) обозначают объем п-мерное подмногообразие А и S(E) обозначают п−1-мерный объем подмногообразия E (в данном контексте обычно называется «площадь»). В Изопериметрическая константа Чигера из M определяется как

${displaystyle h (M) = inf _ {E} {frac {S (E)} {min (V (A), V (B))}},}$

где инфимум все гладко п−1-мерные подмногообразия E из M которые делят его на два непересекающихся подмногообразия А и B. Изопериметрическая константа может быть определена в более общем виде для некомпактных римановых многообразий конечного объема.

Неравенство Чигера

Постоянная Чигера час(M) и ${displaystyle scriptstyle {lambda _ {1} (M)},}$ наименьшее положительное собственное значение лапласиана на M, связаны следующим фундаментальным неравенством, доказываемым Джефф Чигер:

${displaystyle lambda _ {1} (M) geq {frac {h ^ {2} (M)} {4}}.}$

Это неравенство оптимально в следующем смысле: для любого час > 0, натуральное число k и ε > 0 существует двумерное риманово многообразие M с изопериметрической постоянной час(M) = час и такой, что kсобственное значение лапласиана находится в пределах ε от границы Чигера (Buser, 1978).

Неравенство Баззера

Питер Базер доказал верхнюю оценку для ${displaystyle scriptstyle {lambda _ {1} (M)}}$ через изопериметрическую константу час(M). Позволять M быть п-мерное замкнутое риманово многообразие, Кривизна Риччи ограничена снизу величиной - (п−1)а², куда а ≥ 0. Тогда

${displaystyle lambda _ {1} (M) leq 2a (n-1) h (M) + 10h ^ {2} (M).}$

Смотрите также

• Константа Чигера (теория графов)
• Изопериметрическая проблема

Рекомендации

• Баззар, Питер (1982). «Примечание об изопериметрической постоянной». Анна. Sci. École Norm. Как дела. (4). 15 (2): 213–230. МИСТЕР  0683635.
• Баззар, Питер (1978). "Über eine Ungleichung von Cheeger" [О неравенстве Чигера]. Математика. Z. (на немецком). 158 (3): 245–252. Дои:10.1007 / BF01214795. МИСТЕР  0478248.
• Чигер, Джефф (1970). «Нижняя оценка наименьшего собственного значения лапласиана». В Ганнинге, Роберт С. (ред.). Проблемы анализа (Статьи, посвященные Саломон Бохнер, 1969). Princeton, N.J .: Princeton Univ. Нажмите. С. 195–199. МИСТЕР  0402831.

• Любоцкий, Александр (1994). Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры. Современная классика Биркхойзера. С приложением Джонатана Д. Рогавски. Базель: Birkhäuser Verlag. Дои:10.1007/978-3-0346-0332-4. ISBN  978-3-0346-0331-7. МИСТЕР  2569682.