Нулевой морфизм - Zero morphism

В теория категорий, филиал математика, а нулевой морфизм особый вид морфизм проявляя свойства, такие как морфизмы к и от нулевой объект.

Определения

Предполагать C это категория, и ж : Икс → Y это морфизм в C. Морфизм ж называется постоянный морфизм (или иногда левый нулевой морфизм) если для любого объект W в C и любой грамм, час : W → Икс, фг = fh. Вдвойне, ж называется коконстантный морфизм (или иногда правый нулевой морфизм) если для любого объекта Z в C и любой грамм, час : Y → Z, gf = hf. А нулевой морфизм это тот, который является одновременно постоянным морфизмом и коконстантным морфизмом.

А категория с нулевыми морфизмами один, где на каждые два объекта А и B в C, существует фиксированный морфизм 0_AB : А → B, и этот набор морфизмов таков, что для всех объектов Икс, Y, Z в C и все морфизмы ж : Y → Z, грамм : Икс → Y, следующая диаграмма коммутирует:

Морфизмы 0_XY обязательно являются нулевыми морфизмами и образуют согласованную систему нулевых морфизмов.

Если C является категорией с нулевыми морфизмами, то набор 0_XY уникален.^[1]

Такой способ определения «нулевого морфизма» и фразы «категория с нулевым морфизмом» по отдельности неудачен, но если каждый домашний набор имеет «нулевой морфизм», то категория «имеет нулевой морфизм».

Примеры

• в категория групп (или из модули ) нулевым морфизмом называется гомоморфизм ж : грамм → ЧАС что отображает все грамм к элемент идентичности из ЧАС. Нулевым объектом в категории групп является тривиальная группа 1 = {1}, который уникален до изоморфизм. Каждый нулевой морфизм можно разложить на 1, я. е., ж : грамм → 1 → ЧАС.
• В более общем плане предположим C это любая категория с нулевым объектом 0. Тогда для всех объектов Икс и Y существует уникальная последовательность морфизмов

0_XY : Икс → 0 → Y

Семейство всех построенных таким образом морфизмов дает C со структурой категории с нулевыми морфизмами.

• Если C это предаддитивная категория, то каждое множество морфизмов Mor (Икс,Y) является абелева группа и поэтому имеет нулевой элемент. Эти нулевые элементы образуют совместимое семейство нулевых морфизмов для C превращение его в категорию с нулевыми морфизмами.
• В категория наборов не имеет нулевого объекта, но имеет исходный объект, то пустой набор ∅. Единственные морфизмы правого нуля в Набор являются функциями ∅ → Икс для набора Икс.

Связанные понятия

Если C имеет нулевой объект 0, учитывая два объекта Икс и Y в C, есть канонические морфизмы ж : Икс → 0 и грамм : 0 → Y. Потом, gf - нулевой морфизм в Mor_C(Икс, Y). Таким образом, каждая категория с нулевым объектом является категорией с нулевыми морфизмами, заданными композицией 0_XY : Икс → 0 → Y.

Если у категории нет морфизмов, то можно определить понятия ядро и коядро для любого морфизма в этой категории.

Рекомендации

• Раздел 1.7 Парейгис, Бодо (1970), Категории и функторы, Чистая и прикладная математика, 39, Академическая пресса, ISBN  978-0-12-545150-5
• Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (2007), Категория Теория, Heldermann Verlag.

Примечания