Z функция - Z function - Wikipedia

В математика, то Z функция это функция используется для изучения Дзета-функция Римана вдоль критическая линия где аргумент равен половине. Ее также называют Z-функцией Римана – Зигеля, дзета-функцией Римана – Зигеля, Харди функция, функция Харди Z и Дзета-функция Харди. Его можно определить в терминах Тета-функция Римана – Зигеля а дзета-функцию Римана -

{ displaystyle Z (t) = e ^ {i theta (t)} zeta left ({ frac {1} {2}} + it right).}

Из функционального уравнения дзета-функции Римана следует, что функция Z действительна для действительных значений т. Это четная функция, и настоящий аналитик для реальных ценностей. Это следует из того факта, что тета-функция Римана-Зигеля и дзета-функция Римана голоморфны в критической полосе, где мнимая часть т находится между −1/2 и 1/2, значит, функция Z голоморфна и в критической полосе. Более того, настоящие нули Z(т) - это в точности нули дзета-функции вдоль критической линии, а комплексные нули в критической полосе Z-функции соответствуют нулям вне критической линии дзета-функции Римана в ее критической полосе.

**Функция Z в комплексной плоскости**

${ Displaystyle -5 < Re (т) <5}$	${ Displaystyle -40 < Re (т) <40}$

Формула Римана – Зигеля

Расчет стоимости Z(т) серьезно т, и, следовательно, дзета-функции вдоль критической линии, значительно ускоряется Формула Римана – Зигеля. Эта формула говорит нам

{ Displaystyle Z (T) = 2 сумма _ {n ^ {2}

где термин ошибки р(т) имеет сложное асимптотическое выражение через функцию

{ Displaystyle Psi (Z) = { гидроразрыва { соз 2 пи (z ^ {2} -z-1/16)} { соз 2 пи z}}}

и его производные. Если ${ displaystyle u = left ({ frac {t} {2 pi}} right) ^ {1/4}}$ , ${ Displaystyle N = lfloor u ^ {2} rfloor}$ и ${ displaystyle p = u ^ {2} -N}$ тогда

{ Displaystyle R (t) sim (-1) ^ {N-1} left ( Psi (p) u ^ {- 1} - { frac {1} {96 pi ^ {2}}} Psi ^ {(3)} (p) u ^ {- 3} + cdots right)}

где многоточие означает, что мы можем перейти к более высоким и все более сложным терминам.

Известны и другие эффективные ряды для Z (t), в частности, некоторые, использующие неполная гамма-функция. Если

{ Displaystyle Q (a, z) = { frac { Gamma (a, z)} { Gamma (a)}} = { frac {1} { Gamma (a)}} int _ {z } ^ { infty} u ^ {a-1} e ^ {- u} , du}

то особенно хороший пример

{ displaystyle Z (t) = 2 Re left (e ^ {i theta (t)} left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} Q left ({ frac {s}) {2}}, pi in ^ {2} right) - { frac { pi ^ {s / 2} e ^ { pi is / 4}} {s Gamma left ({ frac {s } {2}} right)}} right) right)}

Поведение функции Z

От теорема о критической прямой, следует, что плотность действительных нулей функции Z равна

{ displaystyle { frac {c} {2 pi}} log { frac {t} {2 pi}}}

для некоторой постоянной c > 2/5. Следовательно, количество нулей в интервале заданного размера медленно увеличивается. Если Гипотеза Римана верно, все нули в критической полосе - действительные нули, а постоянная c является одним. Также постулируется, что все эти нули - простые нули.

Теорема Омега

Из-за нулей функции Z он демонстрирует колебательное поведение. Он также медленно растет как в среднем, так и в пиковом значении. Например, у нас есть, даже без гипотезы Римана, Теорема омега который

{ Displaystyle Z (T) = Omega left ( exp left ({ frac {3} {4}} { sqrt { frac { log t} { log log t}}} right )верно),}

где обозначения означают, что ${ Displaystyle Z (т)}$ деленная на функцию внутри Ω не стремится к нулю при увеличениит.

Средний рост

Средний рост функции Z также хорошо изучен. Мы можем найти среднеквадратическое значение (сокращенно RMS) среднее от

{ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {2} dt sim log T}

или же

{ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {T} ^ {2T} Z (t) ^ {2} dt sim log T}

которые говорят нам, что RMS размер Z(т) растет как ${ displaystyle { sqrt { log t}}}$ .

Эту оценку можно улучшить до

{ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {2} dt = log T + (2 gamma -2 log (2 pi) - 1) + O (T ^ {- 15/22})}

Если мы увеличим показатель степени, мы получим среднее значение, которое больше зависит от пиковых значенийZ. Для четвертых степеней мы имеем

{ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {4} dt sim { frac {1} {2 pi ^ {2}}} ( журнал T) ^ {4}}

откуда мы можем заключить, что корень четвертой степени из средней четвертой степени растет как ${ displaystyle { frac {1} {2 ^ {1/4} { sqrt { pi}}}} log t.}$

Гипотеза Линделёфа

Более высокие четные степени хорошо изучены, но о соответствующем среднем значении известно меньше. Предполагается и следует из гипотезы Римана, что

{ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {2k} , dt = o (T ^ { varepsilon})}

для любого положительного ε. Небольшая нотация «o» означает, что левая часть делится на правую. делает сходятся к нулю; другими словами, небольшое o есть отрицание Ω. Эта гипотеза называется Линделёф гипотеза, и она слабее, чем гипотеза Римана. Обычно это выражается в важной эквивалентной форме:

{ Displaystyle Z (т) = о (т ^ { varepsilon});}

в любой форме это говорит нам, что скорость роста пиковых значений не может быть слишком высокой. Самый известный предел этого темпа роста не является сильным, что говорит нам о том, что любой ${ displaystyle epsilon> { frac {89} {570}} приблизительно 0,156}$ подходящий. Было бы удивительно обнаружить, что функция Z примерно так же быстро росла. Литтлвуд доказал, что согласно гипотезе Римана,