Решетка Юнга - Youngs lattice - Wikipedia

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2018) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

А Диаграмма Хассе решетки Юнга

В математика, Решетка Юнга это частично заказанный набор и решетка что сформировано всеми целые разделы. Он назван в честь Альфред Янг, который в серии статей По количественному замещающему анализу, развитый теория представлений симметрической группы. В теории Юнга объекты, которые теперь называются Диаграммы Юнга и частичный порядок в них сыграл ключевую, даже решающую роль. Решетка Юнга занимает видное место в алгебраическая комбинаторика, образуя простейший пример дифференциальное положение в смысле Стэнли (1988). Это также тесно связано с кристаллические основы за аффинные алгебры Ли.

Определение

Решетка Юнга - частично упорядоченное множество Y образованные всеми целочисленными разбиениями, упорядоченными включением их диаграмм Юнга (или Диаграммы Феррерса ).

Значимость

Традиционное применение решетки Юнга - описание неприводимых представлений симметрических групп. S_п для всех пвместе с их свойствами ветвления в нулевой характеристике. Классы эквивалентности неприводимых представлений могут быть параметризованы разбиениями или диаграммами Юнга, ограничение от S_{п + 1} к S_п не имеет кратностей, а представление S_п с перегородкой п содержится в представлении S_{п + 1} с перегородкой q если и только если q охватывает п в решетке Юнга. Повторяя эту процедуру, мы придем к Полуканоническая основа Юнга в неприводимом представлении S_п с перегородкой п, которая индексируется стандартными таблицами Юнга формып.

Характеристики

• Посет Y является оцененный: минимальным элементом является, единственным разбиением нуля и разбиениями п иметь звание п. Это означает, что для двух разделов, которые сопоставимы в решетке, их ранги упорядочены в том же смысле, что и разделы, и существует по крайней мере одно промежуточное разделение каждого промежуточного ранга.
• Посеть Y это решетка. Встреча и соединение двух разбиений задаются пересечением и объединением соответствующих диаграмм Юнга. Поскольку это решетка, в которой операции пересечения и соединения представлены пересечениями и объединениями, это распределительная решетка.
• Если раздел п охватывает k элементы решетки Юнга для некоторых k тогда это покрыто k + 1 элемент. Все перегородки покрыты п можно найти, удалив один из «углов» диаграммы Юнга (прямоугольники в конце как их строки, так и их столбца). Покрытие всех перегородок п можно найти, добавив один из «двойных углов» к диаграмме Юнга (прямоугольники за пределами диаграммы, которые являются первыми такими прямоугольниками как в своей строке, так и в своем столбце). Всегда есть двойной угол в первом ряду, а для каждого другого двойного угла есть угол в предыдущем ряду, откуда происходит указанное свойство.
• Если отдельные разделы п и q оба покрывают k элементы Y тогда k равно 0 или 1, и п и q покрыты k элементы. Проще говоря: два раздела могут иметь не более одного (третьего) раздела, покрытого обоими (на соответствующих диаграммах каждый из них имеет один блок, не принадлежащий другому), и в этом случае существует также один (четвертый) раздел, покрывающий их оба (чьи диаграмма - это объединение их диаграмм).
• Насыщенные цепи между ∅ и п находятся в естественной биекции со стандартной Молодые картины формы п: диаграммы в цепочке добавляют квадраты диаграммы стандартной таблицы Юнга в порядке их нумерации. В более общем смысле, насыщенные цепи между q и п находятся в естественной биекции с наклонными стандартными таблицами перекос п/q.
• В Функция Мёбиуса решетки Юнга принимает значения 0, ± 1. Он задается формулой

${ displaystyle mu (q, p) = { begin {cases} (- 1) ^ {| p | - | q |} & { text {, если наклонная диаграмма}} p / q { text { несвязное объединение квадратов}} & { text {(без общих краев);}} [10pt] 0 & { text {else}}. end {cases}}}$

Двугранная симметрия

Часть решетки Юнга, лежащая ниже 1 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 2, 3 + 3 и 4

Обычная схема с перегородками одного ранга на одинаковой высоте

Диаграмма, показывающая двугранную симметрию

Условно решетку Юнга изображают в виде Диаграмма Хассе при этом все элементы одного ранга отображаются на одинаковой высоте над нижней частью.Сутер (2002) показал, что другой способ изображения некоторых подмножеств решетки Юнга показывает некоторые неожиданные симметрии.

Раздел

${ Displaystyle п + cdots + 3 + 2 + 1}$

из пth треугольное число имеет Диаграмма Феррерса это похоже на лестницу. Самые большие элементы, диаграммы Феррера которых имеют прямоугольную форму и лежат под лестницей, это:

${ displaystyle { begin {array} {c} underbrace {1+ cdots cdots cdots +1} _ {n { text {terms}}} underbrace {2+ cdots cdots +2 } _ {n-1 { text {terms}}} underbrace {3+ cdots +3} _ {n-2 { text {terms}}} vdots underbrace {{} quad n quad {}} _ {1 { text {term}}} end {array}}}$

Перегородки такой формы - единственные, у которых есть только один элемент непосредственно под ними в решетке Юнга. Сутер показал, что множество всех элементов, меньших или равных этим конкретным разбиениям, обладает не только двусторонней симметрией, которую можно ожидать от решетки Юнга, но и вращательной симметрией: группой вращения порядкап + 1 действует на этот посет. Поскольку этот набор имеет как двустороннюю, так и вращательную симметрию, он должен иметь двугранную симметрию: (п + 1) ое группа диэдра действует добросовестно на этом наборе. Размер этого набора 2^п.

Например, когда п = 4, то максимальный элемент под «лестницей», имеющей прямоугольные диаграммы Феррерса, равен

1 + 1 + 1 + 1

2 + 2 + 2

3 + 3

4

Подмножество решетки Юнга, лежащее ниже этих перегородок, обладает как двусторонней симметрией, так и 5-кратной вращательной симметрией. Следовательно, группа диэдраD₅ точно действует на этом подмножестве решетки Юнга.

Смотрите также

• Решетка Юнга – Фибоначчи
• Диаграмма Браттели

Рекомендации

• Misra, Kailash C .; Мива, Тетсудзи (1990). «Хрустальная основа для основного представления ${ Displaystyle U_ {q} ({ widehat { mathfrak {sl}}} (п))}$". Коммуникации по математической физике. 134 (1): 79–88. Bibcode:1990CMaPh.134 ... 79M. Дои:10.1007 / BF02102090.
• Саган, Брюс (2000). Симметричная группа. Берлин: Springer. ISBN  0-387-95067-2.
• Стэнли, Ричард П. (1988). "Дифференциальные позы". Журнал Американского математического общества. 1 (4): 919–961. Дои:10.2307/1990995.
• Сутер, Руеди (2002). «Решетка Юнга и двугранные симметрии». Европейский журнал комбинаторики. 23 (2): 233–238. Дои:10.1006 / eujc.2001.0541.